MIT 线性代数导论第九讲：四个基本子空间

╰半夏微凉° 2022-05-08 05:58 228阅读 0赞

本讲的主要内容：

*  四种子空间的概念以及维数、基

### 四种基本子空间 ###

首先了解四种基本子空间是什么：

*  列空间（column space），简记为  C ( A ) C(A) C(A)， 由矩阵的列向量生成的空间
 *  零空间（null space），简记为  N ( A ) N(A) N(A)， 方程 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解向量生成的空间
 *  行空间（row space），简记为  C ( A T ) C(A^\{T\}) C(AT)（注意这里的是矩阵的转置），矩阵的行向量生成的空间
 *  左零空间（the null space of  A T A^\{T\} AT），简记为 N ( A T ) N(A^\{T\}) N(AT)，也就是矩阵转置之后的零空间

接下来讨论这四种子空间所属的空间：  
对于一个矩阵 A A A（ m × n m\\times n m×n）时，结论如下：

*   N ( A ) N(A) N(A)属于  R n \\mathbb\{R\}^\{n\} Rn
 *   C ( A ) C(A) C(A) 属于 R m \\mathbb\{R\}^\{m\} Rm
 *   C ( A T ) C(A^\{T\}) C(AT)属于 R n \\mathbb\{R\}^\{n\} Rn
 *   N ( A T ) N(A^\{T\}) N(AT)属于 R m \\mathbb\{R\}^\{m\} Rm

这里注意属于的意思也就是这些空间均是后面空间的子空间。

接下来讨论这几种子空间的维数：  
首先来看  C ( A ) C(A) C(A) 和  N ( A ) N(A) N(A) 列空间和行空间在之前已经进行过讨论，这两个空间的维数的和是矩阵的列空间的数目，也就是 n n n:

*   d i m   C ( A ) = r dim \\space C(A) = r dim C(A)=r
 *   d i m   N ( A ) = n − r dim \\space N(A) = n-r dim N(A)=n−r

而对与另两个，也就是相当于将矩阵转置之后再进行考虑，因为矩阵的转置不改变矩阵的秩，所以结论如下：

*   d i m C ( A T ) = r dim \\enspace C(A^\{T\}) = r dimC(AT)=r
 *   d i m N ( A T ) = m − r dim \\enspace N(A^\{T\}) = m-r dimN(AT)=m−r

这里还是要理解清楚空间的维数是什么概念（空间的基所含向量的个数），不要搞混了

总结一下上面的两个结论：

R n   \{ C ( A T ) d i m = r N ( A ) d i m = n − r \\mathbb\{R\}^\{n\} \\space \\left\\\{\\begin\{matrix\} C(A^\{T\}) \\enspace dim=r\\\\ N(A) \\enspace dim=n-r \\end\{matrix\}\\right. Rn \{ C(AT)dim=rN(A)dim=n−r  
 R m   \{ C ( A ) d i m = r N ( A T ) d i m = m − r \\mathbb\{R\}^\{m\} \\space \\left\\\{\\begin\{matrix\} C(A) \\enspace dim=r\\\\ N(A^\{T\}) \\enspace dim=m-r \\end\{matrix\}\\right. Rm \{ C(A)dim=rN(AT)dim=m−r

注意不要搞混。

这一讲的最后还提到了一个问题，那就是将所有的  3 × 3 3 \\times 3 3×3 的矩阵看作向量，由这些 “向量” 生成空间 ，我们可以得到这个空间的一组基为：  
 ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 3 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 7 ) \\begin\{pmatrix\} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 7 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛100000000⎠⎞⎝⎛000030000⎠⎞⎝⎛000000007⎠⎞

其实就相当于将我们之前的向量拓展为矩阵，将  R n \\mathbb\{R\}^\{n\} Rn 延申到  R n × n \\mathbb\{R\}^\{n\\times n\} Rn×n,接下来的课程里还会具体讲到。

以上~