MIT 线性代数导论第八讲：Ax=b可解性以及解的结构

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2022-05-09 11:34 173阅读 0赞

本讲的主要内容：

*   A x = b Ax=b Ax=b 的求解过程
 *  讨论  A x = b Ax=b Ax=b 各种情况是否存在解

### 求解过程 ###

这一部分使用的例子，这里我直接写成矩阵形式：  
 A x = b ⇔ ( 1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10 ) x = ( b 1 b 2 b 3 ) Ax=b\\Leftrightarrow \\begin\{pmatrix\} 1& 2 & 2 & 2\\\\ 2& 4 & 6 & 8\\\\ 3& 6 & 8 & 10 \\end\{pmatrix\}x= \\begin\{pmatrix\} b\_\{1\}\\\\ b\_\{2\}\\\\ b\_\{3\} \\end\{pmatrix\} Ax=b⇔⎝⎛1232462682810⎠⎞x=⎝⎛b1b2b3⎠⎞  
接下来使用写成增广矩阵的形式  ( A , b ) (A,b) (A,b) 进行消元：  
 ( 1 2 2 2 b 1 2 4 6 8 b 2 3 6 8 10 b 3 ) ⇒ ( 1 2 2 2 b 1 0 0 2 4 b 2 − 2 b 1 0 0 0 0 b 3 − b 2 − b 1 ) \\begin\{pmatrix\} 1& 2 & 2 & 2 & b\_\{1\}\\\\ 2& 4 & 6 & 8 &b\_\{2\}\\\\ 3& 6 & 8 & 10 &b\_\{3\} \\end\{pmatrix\}\\Rightarrow \\begin\{pmatrix\} 1& 2 & 2 & 2 & b\_\{1\}\\\\ 0& 0 & 2 & 4 &b\_\{2\}-2b\_\{1\}\\\\ 0& 0 & 0 & 0 &b\_\{3\}-b\_\{2\}-b\_\{1\} \\end\{pmatrix\} ⎝⎛1232462682810b1b2b3⎠⎞⇒⎝⎛100200220240b1b2−2b1b3−b2−b1⎠⎞  
至此，我们可以很清楚的看到这个方程可解的条件： b 3 − b 2 − b 1 = 0 b\_\{3\} - b\_\{2\}-b\_\{1\} = 0 b3−b2−b1=0  
对于方程  A x = b Ax=b Ax=b 方程可解的条件，或者说**可解性（Solvability）** 即（其实在之前列空间部分讲到过）：

*   b b b 存在于  A A A 的列空间中，也就是  b ∈ C ( A ) b\\in C(A) b∈C(A)

或者说：

*   A A A 的行向量的线性组合为0的时候，右侧向量的组合也必须为0，也就是同步

**那么，接下来来写出方程的完整解：**  
分为两个步骤：

*  1.找到方程的特殊解（particular solution）
 *  2.找到方程的零空间的任意解（也就是基础解系）

为方便，取 ( b 1 b 2 b 3 ) = ( 1 5 6 ) \\begin\{pmatrix\} b\_\{1\}\\\\ b\_\{2\}\\\\ b\_\{3\} \\end\{pmatrix\} = \\begin\{pmatrix\} 1\\\\ 5\\\\ 6 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛b1b2b3⎠⎞=⎝⎛156⎠⎞代入方程中，得到消元后增广矩阵：  
 ( 1 2 2 2 1 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1& 2 & 2 & 2 & 1\\\\ 0& 0 & 2 & 4 &3\\\\ 0& 0 & 0 & 0 &0 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛100200220240130⎠⎞  
按照求解的算法：  
 S t e p 1 : Step 1: Step1: 求出特定解，也就是**将所有的自由变量(free variables)赋值为0**，接出来得到： x p a r t i c u l a r = ( − 2 0 3 / 2 0 ) x\_\{particular\} =\\begin\{pmatrix\} -2 \\\\ 0 \\\\ 3/2 \\\\ 0\\end\{pmatrix\} xparticular=⎝⎜⎜⎛−203/20⎠⎟⎟⎞

S t e p 2 : Step 2: Step2: 求出零空间的任意一个解，也就是求解对应的  A x = 0 Ax=0 Ax=0 的解，具体做法按照之前的算法，将所有的自由变量依次赋值为1，上述方程有两个自由变量，最终结果可以记作： x n u l l s p a c e = c 1 ( − 2 1 0 0 ) + c 2 ( 2 0 − 2 0 ) x\_\{nullspace\}=c1\\begin\{pmatrix\} -2 \\\\ 1 \\\\ 0\\\\ 0\\end\{pmatrix\}+c2\\begin\{pmatrix\} 2 \\\\ 0 \\\\ -2\\\\ 0\\end\{pmatrix\} xnullspace=c1⎝⎜⎜⎛−2100⎠⎟⎟⎞\+c2⎝⎜⎜⎛20−20⎠⎟⎟⎞,这个结果又叫做**基础解系**

S t e p 3 : Step 3: Step3: 将上述两部分加起来即可得到完整解，也就是： x c o m p e l e t e = x p a r t i c u l a r + x n u l l s p a c e = ( − 2 0 3 / 2 0 ) + c 1 ( − 2 1 0 0 ) + c 2 ( 2 0 − 2 0 ) x\_\{compelete\} = x\_\{particular\} + x\_\{nullspace\}=\\begin\{pmatrix\} -2 \\\\ 0 \\\\ 3/2 \\\\ 0\\end\{pmatrix\}+c1\\begin\{pmatrix\} -2 \\\\ 1 \\\\ 0\\\\ 0\\end\{pmatrix\}+c2\\begin\{pmatrix\} 2 \\\\ 0 \\\\ -2\\\\ 0\\end\{pmatrix\} xcompelete=xparticular\+xnullspace=⎝⎜⎜⎛−203/20⎠⎟⎟⎞\+c1⎝⎜⎜⎛−2100⎠⎟⎟⎞\+c2⎝⎜⎜⎛20−20⎠⎟⎟⎞  
这个结果即为方程的所有解，这个结果证明如下：  
 \{ A x p a r t i c u l a r = b A x n u l l s p a c e = 0 ⇒ A ( x p a r t i c u l a r + x n u l l s p a c e ) = b \\left\\\{\\begin\{matrix\} A x\_\{particular\} = b\\\\ A x\_\{nullspace\} = 0 \\end\{matrix\}\\right.\\Rightarrow A(x\_\{particular\} + x\_\{nullspace\}) = b \{ Axparticular=bAxnullspace=0⇒A(xparticular\+xnullspace)=b  
如果从图像中理解这个结果，也就是在四维空间中的一张平面（不太直观）：我们可以看到基础解系确定的是这个四维空间的一个过原点的平面，也就是  A x = 0 Ax=0 Ax=0 的情况，将这个平面移动到过  x p a r t i c u l a r x\_\{particular\} xparticular 这个点，此时，这个平面就表示结果。

### 讨论不同情况方程的可解性 ###

总结对于一个  m × n m\\times n m×n 的矩阵（秩为  r r r ）所有的解的可能情况：

*  1. m = n = r m=n=r m=n=r: 唯一解，没有自由变量，所以零空间只有零向量，所以解就等于特殊解，最后的形式为
 *  2. r = m < n r=m<n r=m<n: 有无穷多解，有自由变量，零空间的存在无穷多向量。
 *  3. r = n < m r=n<m r=n<m: 有唯一解或者只有0解，没有自由变量，所以零空间只有一个零向量，只存在特殊解，特殊解可能存在或者不存在。
 *  4. r < m , r < n r<m,r<n r<m,r<n: 无解或者有无穷多解

这几个结论，其实只要画一下矩阵的大致形状就很好理解了。  
以上~