正交多项式族（勒让德多项式跟切比雪夫多项式）理论

- 日理万妓 2022-05-20 01:05 249阅读 0赞

## 简述 ##

这里显示两种，分别是，勒让德多项式跟切比雪夫多项式

## 勒让德多项式 ##

区间是  x ∈ \[ − 1 , 1 \] x\\in\[-1, 1\] x∈\[−1,1\]，权函数为 ρ ( x ) ≡ 1 \\rho(x)\\equiv1 ρ(x)≡1  
 P 0 ( x ) = 1 P\_0(x) = 1 P0(x)=1  
 P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n P\_n(x) = \\frac\{1\}\{2^nn!\}\\frac\{d^n\}\{dx^n\}(x^2-1)^n Pn(x)=2nn!1dxndn(x2−1)n

得到勒让德多项式的首项为 ( 2 n ) ! 2 n ( n ! ) 2 \\frac\{(2n)!\}\{2^n(n!)^2\} 2n(n!)2(2n)!

所以首项系数为1的勒让德多项式，就是  
 P n ∗ ( x ) = P n ( x ) ( 2 n ) ! 2 n ( n ! ) 2 P^\*\_n(x) = \\frac\{P\_n(x)\}\{\\frac\{(2n)!\}\{2^n(n!)^2\}\} Pn∗(x)=2n(n!)2(2n)!Pn(x)

即，  
 P n ∗ ( x ) = n ! ( 2 n ) ! d n d x n ( x 2 − 1 ) n P^\*\_n(x) = \\frac\{n!\}\{(2n)!\}\\frac\{d^n\}\{dx^n\}(x^2-1)^n Pn∗(x)=(2n)!n!dxndn(x2−1)n

**正交性：**  
 ∫ − 1 1 P n ( x ) P m ( x ) d x \\int\_\{-1\}^1P\_n(x)P\_m(x)dx ∫−11Pn(x)Pm(x)dx  
上式，当且仅当n=m时，非0，且值为 2 2 n + 1 \\frac\{2\}\{2n+1\} 2n\+12

**奇偶性：**  
 P n ( − x ) = ( − 1 ) n P n ( x ) P\_n(-x) = (-1)^nP\_n(x) Pn(−x)=(−1)nPn(x)

**递推性：**

( n + 1 ) P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) (n+1)P\_\{n+1\}(x) = (2n+1)xP\_n(x)-nP\_\{n-1\}(x) (n\+1)Pn\+1(x)=(2n\+1)xPn(x)−nPn−1(x)

**在区间上有n个零点**

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## 切比雪夫多项式 ##

区间是  x ∈ \[ − 1 , 1 \] x\\in\[-1, 1\] x∈\[−1,1\]，权函数为 ρ ( x ) = 1 1 − x 2 \\rho(x) = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-x^2\}\} ρ(x)=1−x21  
 T n ( x ) = cos ⁡ ( n arccos ⁡ ( x ) ) T\_n(x) = \\cos(n\\arccos(x)) Tn(x)=cos(narccos(x))

**递推性：**  
 T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) T\_\{n+1\}(x) = 2xT\_n(x) - T\_\{n-1\}(x) Tn\+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)

**正交性：**  
当n = m时有两种情况，

*  n = m != 0:  π 2 \\frac\{\\pi\}\{2\} 2π
 *  n = m = 0  π \\pi π

**T\_n(x) n为偶数，则只含有x的偶数幂；n为奇数的时候，就只含有x的奇数幂**

**零点问题：**  
同样，包含有n个零点，但是有公式可以直接获得答案  
 x k = c o s 2 k − 1 2 n π x\_k = cos\\frac\{2k-1\}\{2n\}\\pi xk=cos2n2k−1π  
 k = 1 ， 2 ， 3 ， . . . , n k = 1， 2，3， ... , n k=1，2，3，...,n

**首项问题：**  
 P n ( x ) P\_n(x) Pn(x)首项系数为  2 n − 1 2^\{n-1\} 2n−1

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