Python金融大数据分析——第10章推断统计学笔记2

系统管理员 2022-05-20 20:09 358阅读 0赞

*  第10章 推断统计学
    
     *  10.3 估值
        
         *  10.3.1 欧式期权
         *  10.3.2 美式期权

# 第10章 推断统计学 #

[Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记1][Python_10_ _ _1]  
[Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记2][Python_10_ _ _2]  
[Python金融大数据分析——第10章 推断统计学 笔记3][Python_10_ _ _3]

## 10.3 估值 ##

蒙特卡洛模拟的最重要应用之一是未定权益（期权，衍生品，混合型工具等）的估值。简单地说，在风险中立的世界中，未定权益的价值是风险中立（鞅）测度下的折现后预期收益。这是所有风险因素（股票、指数等）偏离无风险短期利率的概率测度。根据资产定价基本定理，这种概率测度的存在等价于套利机会的缺失。

金融期权表示在规定（行权期）日期（欧式期权）或者规定时期（美式期权）内，以规定价格（所谓行权价 ） 购买（看涨期权 ） 或者出售（看跌期权）指定金融工具。我们首先考虑估值较为简单的情况一欧式期权。

### 10.3.1 欧式期权 ###

基于某种指数的欧式看涨期权到期日收益通过公式h(ST)≡max(ST−K,0)  h ( S T ) ≡ m a x ( S T − K , 0 )  得出，其中 ST  S T  是到期日 T 的指数水平，K 是行权价格。给定相关随机过程（例如 几何布朗运动）的风险中立测度，或者在一个完备市场中，这种权证的价格由下面公式表示。

公式 风险中立预期定价

C0=e−rT∫∞0h(s)q(s)ds  C 0 = e − r T ∫ 0 ∞ h ( s ) q ( s ) d s

下面公式提供了欧式期权的对应蒙特卡洛模拟公式，其中  SiT~  S T i ~  是到期日期的第 i 个模拟指数水平。

公式 风险中立蒙特卡洛模拟公式

C0˜=e−rT1I∑i=1Ih(SiT~)  C 0 ~ = e − r T 1 I ∑ i = 1 I h ( S T i ~ )

现在考虑几何布朗运动的参数化和估值函数gbm\_mcs＿stat， 该函数仅以行权价格作为参数。 这里只模拟到期日的指数水平：

S0 = 100.
    r = 0.05
    sigma = 0.25
    T = 1.0
    I = 50000
    
    
    def gbm_mcs_stat(K):
        """
        Valuation of European call option in Black-Scholes-Merton
        by Mont Carlo simulation ( of index level at maturity )
        :param k: float (positive) strike price of the option
        :return:
        """
        sn = gen_sn(1, I)
        # simulate index level at maturity
        ST = S0 * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * np.sqrt(T) * sn[1])
        # calculate payoff at maturity
        hT = np.maximum(ST - K, 0)
        # calculate MCS estimator
        C0 = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(hT)
        return C0

作为参考 ， 考虑行权价K=105的情况：

gbm_mcs_stat(K=105.)
    # 9.9915714065433239

接下来 ， 我们考虑动态模拟方法 ， 除了看涨期权之外还可以模拟欧式看跌期权。 函数gbm\_mcs\_dyna 实现了这一算法：

M = 50
    
    
    def gbm_mcs_dyna(K, option='call'):
        """
        Valuation of European option in Black-Scholes-Merton by Monte Carlo simulation(of index level paths)
        :param K: （positive）strike price of the option
        :param option:
        :return:
        """
        dt = T / M
        # simulation of index level paths
        S = np.zeros((M + 1, I))
        S[0] = S0
        sn = gen_sn(M, I)
        for t in range(1, M + 1):
            S[t] = S[t - 1] * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * sn[t])
        # case-based calculation of payoff
        if option == 'call':
            hT = np.maximum(S[-1] - K, 0)
        else:
            hT = np.maximum(K - S[-1], 0)
        # calculation of MCS estimator
        C0 = np.exp(-r * T) * 1 / I * np.sum(hT)
        return C0
    
    # 比较相同行权价的看涨和看跌期权的价格估算
    gbm_mcs_dyna(K=110.,option='call')
    # 8.0198149275733481
    gbm_mcs_dyna(K=110.,option='put')
    # 12.619852239422888

问题是，这些基于模拟的估值方法与Black-Scholes-Merton 估值公式得出的基准值相比表现如何？为了找出这种差别，我们用BSM\_Flncrions.py摸块中的Black-Scholes-Metron 分析性欧式看涨期权定价公式生成一定范围行权价的对应期权价值/估值：  
[bsm\_functions.py][bsm_functions.py]

from bsm_functions import bsm_call_value
    
    stat_res=[]
    dyna_res=[]
    anal_res=[]
    k_list=np.arange(80.,120.1,5.)
    np.random.seed(200000)
    for K in k_list:
        stat_res.append(gbm_mcs_stat(K))
        dyna_res.append(gbm_mcs_dyna(K))
        anal_res.append(bsm_call_value(S0,K,T,r,sigma))
    
    fig,(ax1,ax2)= plt.subplots(2,1,sharex=True,figsize=(8,6))
    ax1.plot(k_list,anal_res,'b',label='analytical')
    ax1.plot(k_list,stat_res,'ro',label='static')
    ax1.set_ylabel('European call option value')
    ax1.grid(True)
    ax1.legend(loc=0)
    ax1.set_ylim(ymin=0)
    wi=1.0
    ax2.bar(k_list-wi/2,(np.array(anal_res)-np.array(stat_res))/np.array(anal_res)*100,wi)
    ax2.set_xlabel('strike')
    ax2.set_ylabel('difference in %')
    ax2.set_xlim(left=75,right=125)
    ax2.grid(True)

![静态和动态事特卡洛估算值的对比][70]

fig,(ax1,ax2)= plt.subplots(2,1,sharex=True,figsize=(8,6))
    ax1.plot(k_list,anal_res,'b',label='analytical')
    ax1.plot(k_list,dyna_res,'ro',label='dynamic')
    ax1.set_ylabel('European call option value')
    ax1.grid(True)
    ax1.legend(loc=0)
    ax1.set_ylim(ymin=0)
    wi=1.0
    ax2.bar(k_list-wi/2,(np.array(anal_res)-np.array(dyna_res))/np.array(anal_res)*100,wi)
    ax2.set_xlabel('strike')
    ax2.set_ylabel('difference in %')
    ax2.set_xlim(left=75,right=125)
    ax2.grid(True)

![静态和动态蒙特卡洛估算值对比][70 1]  
合并动态模拟和估值方法的类似图表， 可以得到上图的结果。同样，所有估值差异小于1% ， 标准差既有负数也有正数的情况。作为一般原则 ， 蒙特卡洛估算函数的质量可以通过调整使用的时间间隔 M 和模拟路径数 I 控制。

### 10.3.2 美式期权 ###

美式期权的估值比欧式期权更复杂。在这种情况下， 必须解决最优截止问题，提出期权的公允价值。下面公式是将美式期权作为最优截止问题时的估值公式。该问题的公式化已经基于离散的时间网络， 以便用于数值化模拟。 在某种意义上， 更准确地说，这是百慕大式期权的估值公式。 时间间隔收敛干0长度时， 百慕大期权的价值收敛于美式期权的价值。

公式 以最优截止问题形式出现的美式期权价格

V0=supe−rTEQ0(hT(ST))  V 0 = s u p e − r T E 0 Q ( h T ( S T ) )

τ∈\{ 0,Δt,2Δt,...,T\}  τ ∈ \{ 0 , Δ t , 2 Δ t , . . . , T \}

下面描述的算法称为最小二乘蒙特卡洛（LSM）方法。由  Vt(s)=max(ht(s),Ct(s))  V t ( s ) = m a x ( h t ( s ) , C t ( s ) )  (其中  Ct(s)=EQt(e−rΔtVt\+Δt(St\+Δt)|St=s)  C t ( s ) = E t Q ( e − r Δ t V t + Δ t ( S t + Δ t ) | S t = s )  ) 给出的任何给定日期 t 的美式（百慕大）期权价值是给定指数水平  St=s  S t = s  下的期权持续价值。

现在我们考虑在 M 个等长 （Δt  Δ t ）的时间间隔中模拟指数水平的 I 条路径。 定义 Yt,i≡e−rΔtVt\+Δt,i  Y t , i ≡ e − r Δ t V t + Δ t , i  为路径 i 在时间 t 时的模拟持续价值。我们不能直接使用这个数字，因为它意味着完美的预期。但是，我们可以使用所有模拟持续价值的截面，通过最下二乘回归估算（预期）持续价值。

给定一组基函数 bd,d=1,...,D  b d , d = 1 , . . . , D  , 然后由回归估算公式 C^t,i=∑Dd=1α∗d,t⋅bd(St,i)  C ^ t , i = ∑ d = 1 D α d , t ∗ ⋅ b d ( S t , i )  算出持续价值，其中最优回归参数 α∗  α ∗  是下面公式中最小二乘法问题的解。

公式 美式期权估值的最小二乘回归

minα1,t,...,αD,t1L∑d=1D(αd,t⋅bd(St,i))2  min α 1 , t , . . . , α D , t 1 L ∑ d = 1 D ( α d , t ⋅ b d ( S t , i ) ) 2

gbm\_mcs\_amer 函数实现美式看涨和看跌期权的LSM 算法：

def gbm_mcs_amer(K, option='call'):
        """
        Valuation of American option in Black-Scholes-Merton
        by Monte Carlo simulation by LSM algorithm
        :param K: (positive) strike price of the option
        :param option: type of the option to be valued ('call','put')
        :return: estimated present value of American call option
        """
        dt = T / M
        df = np.exp(-r * dt)
        # simulation of index levels
        S = np.zeros((M + 1, I))
        S[0] = S0
        sn = gen_sn(M, I)
        for t in range(1, M + 1):
            S[t] = S[t - 1] * np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * dt
                                     + sigma * np.sqrt(dt) * sn[t])
        # case-based calculation of payoff
        if option == 'call':
            h = np.maximum(S - K, 0)
        else:
            h = np.maximum(K - S, 0)
        # LSM algorithm
        V = np.copy(h)
        for t in range(M - 1, 0, -1):
            reg = np.polyfit(S[t], V[t + 1] * df, 7)
            C = np.polyval(reg, S[t])
            V[t] = np.where(C > h[t], V[t + 1] * df, h[t])
        # MSC estimator
        C0 = df * 1 / I * np.sum(V[1])
        return C0
    
    gbm_mcs_amer(110.,option='call')
    # 7.8552809171254045
    gbm_mcs_amer(110.,option='put')
    # 13.646476865931355

欧式期权的价值处于美式期权价值的下界。 两者的差异通常称作提前行权溢价。 下面，我们比较和以前相同的行权价范围内的欧式和美式期权价值， 以估算期权溢价。 这次我们选择看跌期权：

euro_res = []
    amer_res =[]
    k_list = np.arange(80., 120.1, 5.)
    for K in k_list:
        euro_res.append(gbm_mcs_dyna(K,'put'))
        amer_res.append(gbm_mcs_amer(K,'put'))
    euro_res = np.array(euro_res)
    amer_res = np.array(amer_res)
    
    fig, (ax1 ,ax2) = plt.subplots(2, 1, sharex=True, figsize=(8, 6))
    ax1. plot(k_list, euro_res,'b', label='European put')
    ax1. plot(k_list, amer_res,'ro',label='American put')
    ax1.set_ylabel('call option value')
    ax1.grid(True)
    ax1.legend(loc=0)
    wi = 1.0
    ax2.bar(k_list - wi / 2, (amer_res - euro_res) / euro_res * 100, wi)
    ax2.set_xlabel('strike')
    ax2.set_ylabel('early exercise premium in %')
    ax2.set_xlim(left=75, right=125)
    ax2.grid(True)

欧式期权和LSM蒙特卡洛估算值的对比  
![欧式期权和LSM蒙特卡洛估算值的对比][LSM]

未完待续……

[Python_10_ _ _1]: https://blog.csdn.net/weixin_42018258/article/details/80902913
[Python_10_ _ _2]: https://blog.csdn.net/weixin_42018258/article/details/80933355
[Python_10_ _ _3]: https://blog.csdn.net/weixin_42018258/article/details/80948082
[bsm_functions.py]: https://github.com/yhilpisch/arpm/blob/master/bsm_functions.py
[70]: /images/20220521/1af7a987a5b44e3f84c3b6cf5d2e4302.png
[70 1]: /images/20220521/8cb33c8f6cf04b5b9862bdaeb64c9794.png
[LSM]: /images/20220521/0dc7b15b03c64b1886c2b09564a8e961.png