最小二乘法和梯度下降法

心已赠人 2022-05-21 04:26 236阅读 0赞

先看下百度百科的介绍：最小二乘法（又称最小平方法）是一种[数学][Link 1]优化技术。它通过最小化[误差][Link 2]的平方和寻找数据的最佳[函数][Link 3]匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间[误差][Link 2]的平方和为最小。最小二乘法还可用于[曲线拟合][Link 4]。其他一些优化问题也可通过最小化[能量][Link 5]或最大化熵用最小二乘法来表达。

通过这段描述可以看出来，最小二乘法也是一种优化方法，求得目标函数的最优值。并且也可以用于曲线拟合，来解决回归问题。难怪《统计学习方法》中提到，回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以著名的最小二乘法来解决。看来最小二乘法果然是机器学习领域做有名和有效的算法之一。

二. 最小二乘法

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？ 监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。 选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。  
        （2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。  
        （3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。

样本回归模型：

![1354428434_7303.jpg][]                   其中ei为样本（Xi, Yi）的误差

平方损失函数：

![1354428515_1582.jpg][]

则通过Q最小确定这条直线，即确定![1354428590_9906.jpg][]，以![1354428601_4150.jpg][]为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

![1354428700_9699.jpg][]

根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

解得：

![1354428824_3244.jpg][]

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

三. C++实现代码

![复制代码][copycode.gif]

1 /*
     2 最小二乘法C++实现 3 参数1为输入文件 4 输入 ： x 5 输出： 预测的y 6 */
     7 #include<iostream>
     8 #include<fstream>
     9 #include<vector>
    10 using namespace std; 11 
    12 class LeastSquare{ 13     double a, b; 14 public: 15     LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y) 16 { 17         double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0; 18         for(int i=0; i<x.size(); ++i) 19 { 20             t1 += x[i]*x[i]; 21             t2 += x[i]; 22             t3 += x[i]*y[i]; 23             t4 += y[i]; 24 } 25         a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得β1 
    26         b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得β2
    27 } 28 
    29     double getY(const double x) const
    30 { 31         return a*x + b; 32 } 33 
    34     void print() const
    35 { 36         cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n"; 37 } 38 
    39 }; 40 
    41 int main(int argc, char *argv[]) 42 { 43     if(argc != 2) 44 { 45         cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl; 46         return -1; 47 } 48     else
    49 { 50         vector<double> x; 51         ifstream in(argv[1]); 52         for(double d; in>>d; ) 53 x.push_back(d); 54         int sz = x.size(); 55         vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end()); 56         x.resize(sz/2); 57 LeastSquare ls(x, y); 58 ls.print(); 59         
    60         cout<<"Input x:\n"; 61         double x0; 62         while(cin>>x0) 63 { 64             cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl; 65             cout<<"Input x:\n"; 66 } 67 } 68 }

![复制代码][copycode.gif]

四. 最小二乘法与梯度下降法

最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值，那它们有什么区别呢。

相同

1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。  
　　2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：

![\\Delta =\\frac\{1\}\{2\} \\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{(f\_\{\\beta \}(\\bar\{x\_\{i\}\} )-y\_\{i\})^\{2\} \}][Delta _frac_1_2_ _sum_i_1_m_f_beta _bar_x_i_ _-y_i_2_]

其中![\\bar\{x\_\{i\} \}][bar_x_i_]为第i组数据的independent variable，![y\_\{i\}][y_i]为第i组数据的dependent variable，![\\beta][beta]为系数向量。

不同

1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对![\\Delta][Delta]求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个![\\beta][beta]，然后向![\\Delta][Delta]下降最快的方向调整![\\beta][beta]，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫

最小二乘法的局限性和适用场景

从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。

首先，最小二乘法需要计算XTXXTX的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让XTXXTX的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。

第二，当样本特征n非常的大的时候，计算XTXXTX的逆矩阵是一个非常耗时的工作（nxn的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。

第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。

第四，讲一些特殊情况。当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征数n的时候，用方程组求解就可以了。当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。

[Link 1]: http://baike.baidu.com/view/1284.htm
[Link 2]: http://baike.baidu.com/view/40051.htm
[Link 3]: http://baike.baidu.com/view/15061.htm
[Link 4]: http://baike.baidu.com/view/325179.htm
[Link 5]: http://baike.baidu.com/view/14394.htm
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[Delta _frac_1_2_ _sum_i_1_m_f_beta _bar_x_i_ _-y_i_2_]: http://zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm%7D%7B%28f_%7B%5Cbeta+%7D%28%5Cbar%7Bx_%7Bi%7D%7D+%29-y_%7Bi%7D%29%5E%7B2%7D+%7D+
[bar_x_i_]: http://zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7Bx_%7Bi%7D+%7D+
[y_i]: http://zhihu.com/equation?tex=y_%7Bi%7D+
[beta]: /images/20220521/431292b209b14344b387b1b09c62af04.png+
[Delta]: http://zhihu.com/equation?tex=%5CDelta