Kalman滤波器的应用解释2

一时失言乱红尘 2022-05-26 09:48 123阅读 0赞

通过实例来学习可以说是最快的了，这里开始就是实例了！

理论请看前一篇文章：[Kalman滤波器的应用解释1][Kalman_1]

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**目录**

例子1.普遍文章里温度的例子

例子2.论文中测距的例子

例子3.观测函数为y=5x

例子4：小车做匀速直线运动

1. 首先建立小车的状态转移模型

2.然后建立小车的观测模型

3.得到小车目标位置的Kalman滤波方程

4.Matlab仿真

例子5：Matlab kalman函数的使用

附录

1.使用Matlab中的Kalman函数

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# 例子1.普遍文章里温度的例子 #

目的：估算k时刻的实际温度值

输入：k-1时刻的温度值，预测模型的误差方差，测量模型的误差方差。

计算过程：

（1）预测模型和测量模型为：

![20180428204155340][]

状态变量为温度值X，预测模型认为k时刻会延续k-1时刻的温度值，方差为w;测量值也为温度，所以和状态变量的关系为H=1，方差为v。

（2）假设k-1时刻的温度为23度，预测标准差为5度。测量得到k时刻的温度为25度，测量标准差为4度。

（3）方程的系数为A=1;B=0;H=1，5个核心公式如下：

![20180428205129616][]

其中：Q=5,R=4.

所以，k时刻时候：

X(k|k-1)=23;

P(k|k-1)=5\*5;

Kg(k)=5\*5/(5\*5+4\*4)=0.78;（错了，后面修改）

X(k|k)=23+0.78\*\[25-23\]=24.56.

P(k|k)=\[1-0.78\]\*25=5.5。

以上，k时刻的最优估计为24.56度。k时刻的最优值的方差为5.5。

# 例子2.论文中测距的例子 #

问题：在雷达定位时，目标位置不变，获得多次目标的距离值Ri，真实距离值恒定不变，在测量过程中真实值受到加性噪声n(k)的干扰，任意两个不同时刻的噪声互不相关。

(1)系统的预测模型和测量模型为

![20180428214337876][]

状态变量为距离值X，预测模型认为k时刻会延续k-1时刻的距离值，方差为0;测量值也为距离值，所以和状态变量的关系为H=1，方差为n(k)。

（2）方程的系数为

A=1,B=0,H=1,Q=0.5个核心公式如下

![20180428215338588][]

# 例子3.观测函数为y=5x #

Matlab程序如下：

clc;clear;clf
    %% 系统模型
    
    %% 观测模型
    % 观测值其实就是真实值+噪声
    % observed_value=true_value+noise;
    % 加入噪声  y=o*randn(M,N)+u;
    x=1:1000;
    y=5*x;
    y1=y+50*randn(1,1000)+0;
    %y1=y+wgn(1,1000,20);
    true_value=y;
    observed_value=y1;
    %% 初始化
    x_pre2pre=1;%初始最优估计值
    p_pre2pre=0;%初始最小均方误差
    Q=5*5;%过程噪声方差
    R=50*50;%测量噪声方差
    
    N=1000;
    predict_value=zeros(1,N);%存储预测数据
    
    y_now=y1;
    %% 卡尔曼滤波
    %卡尔曼公式
    for i=1:1000
        x_pre2now=x_pre2pre+5;
        p_pre2now=p_pre2pre+Q;
        Kg_now=(p_pre2now)/(p_pre2now+R);
        x_now2now=x_pre2now+Kg_now*(y_now(i)-x_pre2now);
        p_now2now=(1-Kg_now)*p_pre2now;
    
        x_pre2pre=x_now2now;
        p_pre2pre=p_now2now;    
        
        predict_value(i)=x_now2now;    
    end
    
    %% 可视化
    plot(true_value,'r');
    hold on;
    plot(observed_value,'g');
    plot(predict_value,'b');

# 例子4：小车做匀速直线运动 #

## 1. 首先建立小车的状态转移模型 ##

**先考虑最简单的单x轴情况：**由于小车做匀速直线运动，因此其加速度为0。但由于过程噪声的存在，就认为加速度存在一个高斯白噪声。

![\\ddot\{x\}=\\delta \_\{\}w][ddot_x_delta _w]

由牛顿运动定律可知：

![x=x\_\{0\}+v^\{\_\{0\}\}t+\\frac\{1\}\{2\}w t^\{2\}][x_x_0_v_0_t_frac_1_2_w t_2]

![\\dot\{x\}=v^\{\_\{0\}\}+wt][dot_x_v_0_wt]

定义状态变量X为：

![X=\\begin\{bmatrix\} x\\\\ \\dot\{x\} \\end\{bmatrix\}][X_begin_bmatrix_ x_ _dot_x_ _end_bmatrix]

则小车的状态转移模型可以表示如下：

![\\begin\{bmatrix\} x(k)\\\\ \\dot\{x\} (k)\\end\{bmatrix\}=\\begin\{bmatrix\} 1\\ T\\\\ 0\\ 1 \\end\{bmatrix\}\\begin\{bmatrix\} x(k-1)\\\\ \\dot\{x\} (k-1)\\end\{bmatrix\}+\\begin\{bmatrix\} T^\{2\}/2\\\\ T\\end\{bmatrix\}w][begin_bmatrix_ x_k_ _dot_x_ _k_end_bmatrix_begin_bmatrix_ 1_ T_ 0_ 1 _end_bmatrix_begin_bmatrix_ x_k-1_ _dot_x_ _k-1_end_bmatrix_begin_bmatrix_ T_2_2_ T_end_bmatrix_w]

**由此可知对于二维平面的小车运动**，小车的状态转移模型可以表示如下：

![\\begin\{bmatrix\} x(k)\\\\ \\dot\{x\} (k)\\\\y(k)\\\\\\dot\{y\} (k))\\end\{bmatrix\}=\\begin\{bmatrix\} 1\\ T\\0\\0\\\\ 0\\ 1 \\0\\0\\\\ 0\\0\\1\\ T\\\\0\\0\\0\\1 \\end\{bmatrix\}\\begin\{bmatrix\} x(k-1)\\\\ \\dot\{x\} (k-1)\\\\y(k-1)\\\\\\dot\{y\} (k-1))\\end\{bmatrix\}+\\begin\{bmatrix\} T^\{2\}/2\\\\ T\\\\T^\{2\}/2\\\\ T\\end\{bmatrix\}w][begin_bmatrix_ x_k_ _dot_x_ _k_y_k_dot_y_ _k_end_bmatrix_begin_bmatrix_ 1_ T_0_0_ 0_ 1 _0_0_ 0_0_1_ T_0_0_0_1 _end_bmatrix_begin_bmatrix_ x_k-1_ _dot_x_ _k-1_y_k-1_dot_y_ _k-1_end_bmatrix_begin_bmatrix_ T_2_2_ T_T_2_2_ T_end_bmatrix_w]

## 2.然后建立小车的观测模型 ##

有一个两坐标雷达对该目标进行覆盖，由于测量值就是小车的状态变量X，因此：

![Y=\\begin\{bmatrix\} x\\\\ \\dot\{x\} \\\\y\\\\ \\dot\{y\}\\end\{bmatrix\}=X+v=\\begin\{bmatrix\} x\\\\ \\dot\{x\}\\\\y\\\\ \\dot\{y\} \\end\{bmatrix\}+v][Y_begin_bmatrix_ x_ _dot_x_ _y_ _dot_y_end_bmatrix_X_v_begin_bmatrix_ x_ _dot_x_y_ _dot_y_ _end_bmatrix_v]

v是测量噪声，也是高斯白噪声。

## 3.得到小车目标位置的Kalman滤波方程 ##

由前面第1和2小节，可知：

![A=\\begin\{bmatrix\} 1\\ T\\0\\0\\\\ 0\\ 1 \\0\\0\\\\ 0\\0\\1\\ T\\\\0\\0\\0\\1 \\end\{bmatrix\} ;\\ B=0; \\ H=\\begin\{bmatrix\} 1\\\\1\\\\1\\\\1 \\end\{bmatrix\}][A_begin_bmatrix_ 1_ T_0_0_ 0_ 1 _0_0_ 0_0_1_ T_0_0_0_1 _end_bmatrix_ _ B_0_ _ H_begin_bmatrix_ 1_1_1_1 _end_bmatrix]

过程噪声w的方差为![Q\_\{w\}][Q_w]，测量噪声的方差为![R\_\{v\}][R_v]，由此更新Q和R为：

![\\begin\{aligned\} Q& =\\begin\{bmatrix\} T^\{2\}/2\\\\ T\\\\T^\{2\}/2\\\\ T\\end\{bmatrix\}Q\_\{w\} \\\\ R& =R\_\{v\} \\\\ \\end\{aligned\}][begin_aligned_ Q_ _begin_bmatrix_ T_2_2_ T_T_2_2_ T_end_bmatrix_Q_w_ _ R_ _R_v_ _ _end_aligned]

标准的Kalman公式如下：

![Center][]

## 4.Matlab仿真 ##

首先，**初始化**数值：

# 例子5：Matlab kalman函数的使用 #

1.前言

% kalman滤波函数

% 输入参数：QN为状态噪声的方差阵；RN为观测噪声的方差阵；NN表示状态噪声和观测噪声的协方差阵；

% 输出参数：KEST为系统输出估计值y和状态估计值x;L和M分别表示两个增益矩阵；P和Z分别代表预报误差方差阵和滤波误差方差阵

\[KEST,L,P,M,Z\]=kalman(SYS,QN,RN,NN)

——————————————————————————————————————————————————————

对于线性系统：

![\\dot\{x\}=Ax+Bu+Gw\\\\ y=Cx+Du+Hw+v][dot_x_Ax_Bu_Gw_ y_Cx_Du_Hw_v]

调用格式为：

\[KEST,L,P,M,Z\]=kalman(SYS,QN,RN,NN)

2.问题定义

已知离散系统

![x(k+1)=\\begin\{bmatrix\} 0.49\\0.298\\0.412 \\\\ 0.401\\-0.391\\0.391\\\\ -0.992\\0.401\\0.296 \\end\{bmatrix\}x(k)+e(k)][x_k_1_begin_bmatrix_ 0.49_0.298_0.412 _ 0.401_-0.391_0.391_ -0.992_0.401_0.296 _end_bmatrix_x_k_e_k]

![y(k+1)=\\begin\{bmatrix\} 0\\\\ 1\\\\ 0 \\end\{bmatrix\}x(k)+v(k)][y_k_1_begin_bmatrix_ 0_ 1_ 0 _end_bmatrix_x_k_v_k]

e和v是互不相关的高斯白噪声。假设x的初始值为![x(1)=\\begin\{bmatrix\} 10.9 \\\\ 8.481\\\\ -4.3 \\end\{bmatrix\}][x_1_begin_bmatrix_ 10.9 _ 8.481_ -4.3 _end_bmatrix]，由此用Kalman滤波对数据进行仿真。

3.可运行代码

%%%%%%%系统描述
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
    % x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]+Gw[n] 
    % y[n]=Cx[n]+Du[n]+Hw[n]+v[n] 
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
    % 状态转移矩阵 
    A=[0.49 0.298 0.412     
        0.401 -0.391 0.391     
        -0.992 0.401 0.296]; 
    % B矩阵     
    B=zeros(3,3); 
    % G矩阵     
    G=eye(3,3); 
    % C矩阵 向量     
    C=[0 1 0];     
    D=[0 0 0];     
    H=zeros(1,3); 
    % 状态向量初值（真值）     
    x(:,1)=[10.9 8.481 -4.3]'; 
    % 状态向量初始估计值，不准也没关系，随着迭代会趋向于真值     
    guji=[10.1 11.3 10.7]'; 
    % 进入循环     
    for i=2:30         
        %c产生 正态分布数据   y=o*randn(M,N)+u;返回一个均值为u，标准差为o的m*n的随机项矩阵         
        w=randn(3,1);         
        v=randn(1,1); 
        %真实数据         
        x(:,i)=A*x(:,i-1);        
        %人为制造系统误差         
        x1(:,i)=x(:,i)+w;         
        Qn=eye(2,2);         
        Rn=1;         
        Nn=0;         
        %人为制造观测数据的误差         
        z0(:,i)=C*x1(:,i)+v;         
        %建立Kalman的系统参数         
        sys=ss(A,[B,G],C,[D,H],-1);         
        [kest,L,P,M,Z]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn);         
        %得到估计数据         
        guji(:,i)=A*guji(:,i-1)+L*(z0(:,i)-C*A*guji(:,i-1));     
    end
    
    %% 结果展示，由于状态变量有3个，因此画了3幅图
    subplot(2,2,1) 
    % 做出真值曲线 x1     
    plot(x(1,:))     
    hold on 
    % 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x1     
    plot(guji(1,:),':m')     
    hold off     
    legend('real of x1','estimate of x1')     
    grid     
    subplot(2,2,2) 
    % 做出真值曲线 x2     
    plot(x(2,:))     
    hold on 
    % 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x2     
    plot(guji(2,:),':m')
    hold off     
    legend('real of x2','estimate of x2')     
    grid     
    subplot(2,2,3:4) 
    % 做出真值曲线 x3     
    plot(x(3,:))     
    hold on 
    % 做出在噪声污染情况下的滤波估计值曲线 x3    
    plot(guji(3,:),':m')     
    hold off     
    legend('real of x1','estimate of x1')     
    grid

4.仿真结果图

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

# 附录 #

## 1.使用Matlab中的Kalman函数 ##

官方的例程路径如下：

首先，在Matlab搜索栏搜索Kalman Filter Design，点击出现的kalman，进入Kalman函数介绍页面。如下图所示。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]             ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

然后，滚动页面找到Example小节，点击Kalman Filter Design进入官方例程，如下图所示。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]          ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tpc3Nnb29kYnllMjAxMg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

[Kalman_1]: https://blog.csdn.net/kissgoodbye2012/article/details/69062439
[20180428204155340]: /images/20220526/de718fe73b3d48b799d08643b7d4dc0c.png
[20180428205129616]: /images/20220526/babce2f3d2824eba9f1900c4c01be9f8.png
[20180428214337876]: /images/20220526/e1ddb0d917df46a4a9f6b7a5ddb18bfe.png
[20180428215338588]: /images/20220526/997405c6c9194b249344f5897242c9f3.png
[ddot_x_delta _w]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cddot%7Bx%7D%3D%5Cdelta%20_%7B%7Dw
[x_x_0_v_0_t_frac_1_2_w t_2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x%3Dx_%7B0%7D&plus;v%5E%7B_%7B0%7D%7Dt&plus;%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dw%20t%5E%7B2%7D
[dot_x_v_0_wt]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7Bx%7D%3Dv%5E%7B_%7B0%7D%7D&plus;wt
[X_begin_bmatrix_ x_ _dot_x_ _end_bmatrix]: https://private.codecogs.com/gif.latex?X%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D
[begin_bmatrix_ x_k_ _dot_x_ _k_end_bmatrix_begin_bmatrix_ 1_ T_ 0_ 1 _end_bmatrix_begin_bmatrix_ x_k-1_ _dot_x_ _k-1_end_bmatrix_begin_bmatrix_ T_2_2_ T_end_bmatrix_w]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%28k%29%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%20%28k%29%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%5C%20T%5C%5C%200%5C%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%28k-1%29%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%20%28k-1%29%5Cend%7Bbmatrix%7D&plus;%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20T%5E%7B2%7D/2%5C%5C%20T%5Cend%7Bbmatrix%7Dw
[begin_bmatrix_ x_k_ _dot_x_ _k_y_k_dot_y_ _k_end_bmatrix_begin_bmatrix_ 1_ T_0_0_ 0_ 1 _0_0_ 0_0_1_ T_0_0_0_1 _end_bmatrix_begin_bmatrix_ x_k-1_ _dot_x_ _k-1_y_k-1_dot_y_ _k-1_end_bmatrix_begin_bmatrix_ T_2_2_ T_T_2_2_ T_end_bmatrix_w]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%28k%29%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%20%28k%29%5C%5Cy%28k%29%5C%5C%5Cdot%7By%7D%20%28k%29%29%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%5C%20T%5C0%5C0%5C%5C%200%5C%201%20%5C0%5C0%5C%5C%200%5C0%5C1%5C%20T%5C%5C0%5C0%5C0%5C1%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%28k-1%29%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%20%28k-1%29%5C%5Cy%28k-1%29%5C%5C%5Cdot%7By%7D%20%28k-1%29%29%5Cend%7Bbmatrix%7D&plus;%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20T%5E%7B2%7D/2%5C%5C%20T%5C%5CT%5E%7B2%7D/2%5C%5C%20T%5Cend%7Bbmatrix%7Dw
[Y_begin_bmatrix_ x_ _dot_x_ _y_ _dot_y_end_bmatrix_X_v_begin_bmatrix_ x_ _dot_x_y_ _dot_y_ _end_bmatrix_v]: https://private.codecogs.com/gif.latex?Y%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%20%5C%5Cy%5C%5C%20%5Cdot%7By%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D%3DX&plus;v%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20x%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D%5C%5Cy%5C%5C%20%5Cdot%7By%7D%20%5Cend%7Bbmatrix%7D&plus;v
[A_begin_bmatrix_ 1_ T_0_0_ 0_ 1 _0_0_ 0_0_1_ T_0_0_0_1 _end_bmatrix_ _ B_0_ _ H_begin_bmatrix_ 1_1_1_1 _end_bmatrix]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%5C%20T%5C0%5C0%5C%5C%200%5C%201%20%5C0%5C0%5C%5C%200%5C0%5C1%5C%20T%5C%5C0%5C0%5C0%5C1%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3B%5C%20B%3D0%3B%20%5C%20H%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%5C%5C1%5C%5C1%5C%5C1%20%5Cend%7Bbmatrix%7D
[Q_w]: https://private.codecogs.com/gif.latex?Q_%7Bw%7D
[R_v]: https://private.codecogs.com/gif.latex?R_%7Bv%7D
[begin_aligned_ Q_ _begin_bmatrix_ T_2_2_ T_T_2_2_ T_end_bmatrix_Q_w_ _ R_ _R_v_ _ _end_aligned]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Baligned%7D%20Q%26%20%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20T%5E%7B2%7D/2%5C%5C%20T%5C%5CT%5E%7B2%7D/2%5C%5C%20T%5Cend%7Bbmatrix%7DQ_%7Bw%7D%20%5C%5C%20R%26%20%3DR_%7Bv%7D%20%5C%5C%20%5Cend%7Baligned%7D
[Center]: /images/20220526/a612cefbe2d448eb9f30236eba1d446f.png
[dot_x_Ax_Bu_Gw_ y_Cx_Du_Hw_v]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cdot%7Bx%7D%3DAx&plus;Bu&plus;Gw%5C%5C%20y%3DCx&plus;Du&plus;Hw&plus;v
[x_k_1_begin_bmatrix_ 0.49_0.298_0.412 _ 0.401_-0.391_0.391_ -0.992_0.401_0.296 _end_bmatrix_x_k_e_k]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x%28k&plus;1%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200.49%5C0.298%5C0.412%20%5C%5C%200.401%5C-0.391%5C0.391%5C%5C%20-0.992%5C0.401%5C0.296%20%5Cend%7Bbmatrix%7Dx%28k%29&plus;e%28k%29
[y_k_1_begin_bmatrix_ 0_ 1_ 0 _end_bmatrix_x_k_v_k]: https://private.codecogs.com/gif.latex?y%28k&plus;1%29%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%5C%5C%201%5C%5C%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7Dx%28k%29&plus;v%28k%29
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