Kalman滤波器的应用解释

悠悠 2022-06-18 09:53 138阅读 0赞

**前言：**在看了R.E.Kalman关于线性滤波器的原文，以及网上关于Kalman滤波器的各种解释后，我来写写我理解的Kalman滤波器及工程上怎么应用它！

**Kalman滤波器通俗解释：**这个滤波器其实相当于一个信息融合方法。

我现在要知道时刻k系统的状态X(k)，我可以建立一个模型，这个模型根据时刻k-1系统的状态估算出时刻k系统的状态X(k)，当然这个状态并不准确（假定我们建立不了那么准确的模型，除非真的特别牛，建了一个特别厉害的模型！），我们假设估算得到的这个系统状态X(k)存在误差，服从高斯分布，也就是正态分布，且均值为0；

除了建立模型，我也可以利用传感器直接测量当前的状态，得到另一个时刻k系统的状态X(k)，当然传感器也存在误差，我们假设它的误差也服从高斯分布，也就是正态分布，且均值为0；

**重点：我们现在得到了两个或多个对系统时刻k的状态估计，那么怎么融合这些信息，得出最佳估计呢？答案是：将所有估计进行加权平均（是不是觉得怎么这么简单？对，难的是怎么确定这些权重）**

**首先讲怎么用Kalman滤波器：**

你的系统需要是一个离散的控制过程系统——线性系统，不论是数学模型还是观测模型！（可忽略，反正只要公式形式和原理上差不多就行），可以建立如下的模型：

![Center][]

**我先来解释一波：**

（1）A，B，H都是你建立的数学模型和测量模型的参数，对任意时刻都是一样的。如果是多模型则A,B为矩阵，如果是多测量系统则H为矩阵；

—————：一般H比较难理解，就比如你要测环境的温度X(k)，但实际你观测到的可能是输出的电压，输出的电流，这个电压和电流与温度之间是一个比例关系，也就是这里的H矩阵了！又比如你要测速度X(k)，但观测到的是位移，又知道两个时刻k和k-1之间的时间差，于是这之间又有一个比例关系，这就是H矩阵！反正**重点**是：**H矩阵代表状态X(k)如何转移成观测Y(k)！**

（2）U(k)为时刻k的线性系统输入；

（3）w(k)~N（0，Q）和v(k)~N（0，R）都是服从均值为0的高斯分布（正态分布），他们的方差分别为Q（对应w(k)）和R（对应v（k）），我们假定他俩的方差不会随时间改变（Q和R为定值）；

**放5个公式（核心）：**

![Center 1][]

看懂这五个公式了吗？不懂我下面会慢慢解释，会这五个公式，再加上一点初始条件的设置，你就可以用Kalman滤波了，开心吗？至于具体的原理，为什么是这个公式，如果想知道，请继续看下去，否则看懂这五个公式就足够了！（编程起来非常简单……）

**1.基于数学模型进行预测：**

**![Center 2][]**

**解释一下：**

（1）X(k|k-1)代表从k-1时刻估计的时刻k的状态；

（2）头上带尖角的说明它是最佳的估计值；

（3）头右上角的T说明是矩阵的转置（这个不会不知道吧）；

（4）P(k|k-1)是最小均方误差矩阵；

（5）Q为数学模型预测的方差；

**2.修正估计值：**

![Center 3][]

**解释一下：**

（1）Kg(k)为卡尔曼增益（误差增益）；

（2）R为观测模型误差的方差；

**3.最小均方误差矩阵的更新**

![Center 4][]

解释一下：

（1）I为单位阵（错看成1也没关系，本来就是一串对角1）；

**4.初始条件的设定**

我们需要的初始条件有：

（1）首先那些系统参数你要知道:A,B,H,Q,R；

（2）时刻0的状态X(0|0)和P(0|0)，这个没有先验条件下可以随便设，但是P(0|0)最好不要设为0，看公式就知道这样P就不能更新了，只会为0（物理意义上就认为X(0|0)最优）；

**5.总述说明**

(1)设置好初始条件，根据五个公式就可以不断迭代下去，算法最终会收敛的，也就是越来越准！（这个可是当年Kalman发论文的核心——我证明了我的这个是最好的，算法最终会收敛！傲娇脸~~），想看证明的我之后会更新！

(2)其实Kalman滤波的关键就是那个Kg，他利用方差来判断相信数学模型还是观测模型多一点（这里涉及统计观点，所以学好概率论是多么重要！）。

**Kalman滤波实际中存在的困难：**

**1.Kalman滤波发散**

（1）很多时候两个方差P和R我们并不知道，或者本身P和R会随着时间变化；

（2）很多时候系统参数我们都不知道A,B,H；

………………………………写于2017年4月6日

**原文解读：**

基于统计特性将通信和控制领域的理论和实际问题分为三类：（1）随机信号的预测问题；（2）将噪声和随机信号分离的问题；（3）在噪声存在的情况下分离已知形式的信号（如阶跃和正弦信号）。

前期的研究中，维纳从问题（1）和（2）导出了Wiener-Hopf 积分方程，并给出了在固定统计点合理范围的积分方程的解。  
后续也有很多工作，这些工作的目标都是得到一个线性动力学模型（维纳滤波器）从而解决前面的三个问题。当前的方法都有使用的限制，从而大大缩减了使用范围。

[Center]: /images/20220618/4c8ba4db91854cc9b519a69c13faad17.png
[Center 1]: /images/20220618/2730e35fa3b64ea1abe24c25140a879f.png
[Center 2]: /images/20220618/69cfcfde1e414c43ad54a407a0928b71.png
[Center 3]: /images/20220618/fc0e594dec564897a6f2fd20e7cafd3a.png
[Center 4]: /images/20220618/498183223f17486f9835d96285280e5d.png