四大算法解决最短路径问题（Dijkstra+Bellman-ford+SPFA+Floyd）

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2022-06-05 07:10 138阅读 0赞

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*  [什么是最短路径问题？][Link 1]
 *  [单源最短路径——Dijkstra][Dijkstra]
 *  [单源最短路径——Bellman-ford算法][Bellman-ford]
 *  [单源最短路径——SPFA算法][SPFA]
 *  [多源最短路径——Floyd算法][Floyd]

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### 什么是最短路径问题？ ###

简单来讲，就是用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

单源最短路算法：已知起点，求到达其他点的最短路径。

常用算法：Dijkstra算法、Bellman-ford算法、SPFA算法

多源最短路算法：求任意两点之间的最短路径。

常用算法：floyd算法

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### 单源最短路径——Dijkstra ###

Dijkstra算法是经典的最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。

主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

时间复杂度：O(n^2)

处理问题：单源、无负权、有向图、无向图最短路径

不能使用的情况：边中含有负权值（无法判断）

![复制代码][copycode.gif]

#define INF 0x3f3f3f3f
    
    int e[Max][Max];//e[i][j]代表从i->j的距离，不通设为无穷大
    int dis[Max];//dis[i]代表从起点到i的最短距离
    bool book[Max];//book[i]代表点i是否在S中
    int n;//n个顶点
    int s;//起点
    
    void Dijkstra()
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)//初始化dis数组
            dis[i]=e[s][i];
    
        for(int i=1;i<=n;i++)//初始化book数组
            book[i]=0;
        dis[s]=0;
        book[s]=1;
    
        for(int i=1;i<=n-1;i++)//Dijkstra算法核心语句
        {
            int minDis=INF;
            int k;//找到与s最近的顶点k
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(book[j]==0 && dis[j]<minDis)
                {
                    minDis=dis[j];
                    k=j;
                }
            }
            book[k]=1;
    
            for(int j=1;j<=n;j++)//“松弛”过程
            {
                if(e[k][j]<INF)
                {
                    if(dis[j]>dis[k]+e[k][j])
                        dis[j]=dis[k]+e[k][j];
                }
            }
        }
    }

![复制代码][copycode.gif]

基本思想：把带权图中所有的点分为两部分S∪U，S为已经求出从起点到该点的最短路径的点集合，U中为未确定最短路径的点集合。把U中的点一个一个加入到S中，最后求出全部最短路径。

如何把U中的点加入S中呢？

①初始时，S只包含源点s，即S＝\{s\}，dis\[s\]=0。U包含除v外的其他顶点，即U=\{其余顶点\}，若s与U中顶点u有边，则dis\[u\]=e\[s\]\[u\]，否则，dis\[u\]=∞。

②从U中找到一个与源点s距离最小（min(dis\[\])）的顶点k，把k加入S中，dis\[k\]确定（仔细想想，s与k最短路径必定是dis\[k\]=e\[s\]\[k\]，找不到更短的）。

③以k为新考虑的中间点，修改源点s到U中各顶点的距离dis\[\]：若从源点s到顶点u的距离（dis\[k\]+e\[k\]\[u\]，经过顶点k）比原来距离（dis\[u\]，不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。（这一过程称为“松弛”）

④重复步骤②和③直到所有顶点都包含在S中。

算法优化：这里面每次都要寻找距离最短的那个点和距离，时间复杂度为O(n)，可以用“堆”来优化，是时间复杂度降为O(lgn)。

算法过程详解：[http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1387799][http_ahalei.blog.51cto.com_4767671_1387799]

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### 单源最短路径——Bellman-ford算法 ###

求单源最短路径，可以判断有无负权回路（若有，则不存在最短路）， 时效性较好，时间复杂度O（VE）。

处理问题：单源、可有负权、有向图、无向图最短路径

注：下面代码为有向图最短路径

![复制代码][copycode.gif]

#define INF 0x3f3f3f3f
    
    struct Edge{
        int u;//起
        int v;//终
        int weight;//长度
    };
    
    Edge edge[maxm];//用来存储所有的边
    int dis[maxn];//dis[i]表示源点到i的最短距离
    int n,m;//n个点，m条边
    int s;//源点
    
    bool Bellmen_ford()
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)//初始化
            dis[i]=INF;
    
        dis[s]=0;//源节点到自己的距离为0
    
        for(int i=1;i<n;i++)//松弛过程，计算最短路径
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                if(dis[edge[j].v]>dis[edge[j].u]+edge[j].weight)//比较s->v与s->u->v大小
                    dis[edge[j].v]=dis[edge[j].u]+edge[j].weight;
            }
        }
    
        for(int j=1;j<=m;j++)//判断是否有负边权的边
        {
            if(dis[edge[j].v]>dis[edge[j].u]+edge[j].weight)
                return false;
        }
    
        return true;
    }

![复制代码][copycode.gif]

基本思想：bellman-ford的思想和dijkstra很像，其关键点都在于不断地对边进行松弛。而最大的区别就在于前者能作用于负边权的情况。其实现思路是在求出最短路径后，判断此刻是否还能对便进行松弛，如果还能进行松弛，便说明还有负边权的边。

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### 单源最短路径——SPFA算法 ###

上一种算法其实不好用，复杂度太高，SPFA算法是Bellman-ford算法的队列优化，比较常用。SPFA算法在负边权图上可以完全取代Bellman-ford算法，另外在稀疏图中也表现良好。但是在非负边权图中，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法，以及它的使用堆优化的版本。通常的SPFA算法在一类网格图中的表现不尽如人意。不是很稳定，不如Dijkstra。

处理问题：单源、可有负权、有向图、无向图最短路径（自身其实无法处理负权）

![复制代码][copycode.gif]

#define INF 0x3f3f3f3f
    
    int dis[MAX];//dis[i]表示起点到i的最短距离
    bool vis[MAX];//是否访问过点i
    int e[MAX][MAX];//矩阵
    
    int n,m;//点和边的数量
    int s;//源点
    
    void SPFA()
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)//初始化
        {
            dis[i]=INF;
            vis[i]=false;
        }
        queue<int> q;
        q.push(s);
        dis[s]=0;
        vis[s]=true;
    
        while(!q.empty())
        {
            int cur=q.front();
            q.pop();
            vis[cur]=false;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(e[cur][i]!=INF&&dis[i]>=dis[cur]+e[cur][i])
                {
                    dis[i]=dis[cur]+e[cur][i];
                    if(!vis[i])
                    {
                        vis[i]=true;
                        q.push(i);
                    }
                }
            }
        }
    }

![复制代码][copycode.gif]

算法思想：

设立一个队列用来保存待优化的点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

算法过程详解：[http://www.360doc.com/content/13/1208/22/14357424\_335569176.shtml][http_www.360doc.com_content_13_1208_22_14357424_335569176.shtml]

例题：[http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1008][http_ac.jobdu.com_problem.php_pid_1008]

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### 多源最短路径——Floyd算法 ###

Floyd算法是一种利用动态规划思想的计算加权图中多源点之间最短路径的算法。可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。

时间复杂度：O(N^3）

空间复杂度：O(N^2）

处理问题：多源、可有负权、有向图、无向图最短路径

![复制代码][copycode.gif]

int e[Max][Max];//e[i][j]代表从i->j的距离，不通设为无穷大
    int n;//n个顶点
    //Floyd算法
    void Floyd()
    {
        for(int k=1;k<=n;k++)//遍历所有的中间点
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)//遍历所有的起点
            {
                for(int j=1;j<=n;j++)//遍历所有的终点
                {
                    if (e[i][j]>e[i][k]+e[k][j])//如果当前i->j的距离大于i->k->j的距离之和
                        e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];//更新从i->j的最短路径
                }
            }
        }
    }

![复制代码][copycode.gif]

算法思想：

①如果不允许有中转点，那么最短路径就是我们的e\[\]\[\]原始矩阵；

②现在只允许经过1号顶点进行中转，判断e\[i\]\[1\]+e\[1\]\[j\]是否比e\[i\]\[j\]要小，修改e\[\]\[\]；

③接下来只允许经过1和2号顶点进行中转……

④最后，允许经过1~n号所有顶点进行中转，得到最后的e\[\]\[\]，就是要求的任意两点之间的最短路程。

这里面是动态规划思想的体现。状态转移方程：e\[i,j\]=max\{e\[i,k\]+e\[k,j\],e\[i,j\]\}；

算法过程：对于每一对顶点 i 和 j，看看是否存在一个顶点 k 使得从 i 到 k 再到 j 比已知的路径更短。如果是，则更新它。

算法过程详解：[http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1383613][http_ahalei.blog.51cto.com_4767671_1383613]

另外，特别鸣谢，本文参考（含大量例题）：[http://blog.csdn.net/hjd\_love\_zzt/article/details/26739593][http_blog.csdn.net_hjd_love_zzt_article_details_26739593]

作者： [AlvinZH][]

出处： [http://www.cnblogs.com/AlvinZH/][AlvinZH]

[Link 1]: http://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/6789912.html#_label0
[Dijkstra]: http://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/6789912.html#_label1
[Bellman-ford]: http://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/6789912.html#_label2
[SPFA]: http://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/6789912.html#_label3
[Floyd]: http://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/6789912.html#_label4
[Link 2]: http://www.cnblogs.com/AlvinZH/p/6789912.html#_labelTop
[copycode.gif]: /images/20220605/009b96b49c08473081bb45ad36c0a45b.png
[http_ahalei.blog.51cto.com_4767671_1387799]: http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1387799
[http_www.360doc.com_content_13_1208_22_14357424_335569176.shtml]: http://www.360doc.com/content/13/1208/22/14357424_335569176.shtml
[http_ac.jobdu.com_problem.php_pid_1008]: http://ac.jobdu.com/problem.php?pid=1008
[http_ahalei.blog.51cto.com_4767671_1383613]: http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1383613
[http_blog.csdn.net_hjd_love_zzt_article_details_26739593]: http://blog.csdn.net/hjd_love_zzt/article/details/26739593
[AlvinZH]: http://www.cnblogs.com/AlvinZH/