【算法】图的最小生成树(Prim算法)

川长思鸟来 2022-06-09 09:24 249阅读 0赞

写在前面：从今年1月到现在，准备考研大概也有半年多了，前一阵子因为准备腾讯的简历花了几天，还不知道鹅厂给不给我笔试的机会，就当一次职场实践了。准备考研给我的感觉跟考证完全不一样，考证没有名额的限制，只要你过线，就发给你证；考研就不同了，一群人抢那几个名额，过线还不一定顶用，更何况现在一堆的名师啊，机构啊做宣传，划重点，现在独自默默看书的我有压力，感觉学习就变味了TAT。。。完全成了应试。。。这样以来，学习真的就有了捷径么？

回归正题，今天要介绍的是图的最小生成树，也叫做最小代价。最小生成树是针对**无向图**而言的。临时百度科普了一下应用，百科上举的一个例子是在各个地区之间铺设光缆，并保证各城市连通。学过数据通信的童鞋应该知道，光纤铺设的成本是相对双绞线啥的要更高。我们可以这样想，各城市可以看成一个一个顶点；架设在城市之间的光缆可以看作是边；这些光缆有的长，有的短，自然每一段的总价就不同了，这个价格，就可以看作是权值。为了省钱，降低成本，是不是要寻找一个路径，攘括了所有的城市，并且费用最少呢？这就是最小生成树了。

我感觉学习算法最重要的是要清楚它是怎么做的，一步一步做，把自己想象成计算机，而不是人类。

下面，我们就来看看最小生成树的Prim算法是怎么做的。

主要思想：以顶点为主线，构成生成树。把图的顶点分成两类，一类是生成树中的点(类A)，另一类是图余下的点(类B)。从与类A中的点相邻接的，属于类B的点中，选择权值最小的边，把它加入到生成树中，直到图中所有顶点被加入类A。

我们今天要实现的目标是：计算最小生成树的和

所使用图的存储结构：邻接矩阵

所使用的其他数据结构：int vset\[n\]         //n为图的顶点个数，用于标识某个点是否被处理。1已被处理；0未被处理

int lowcost\[n\]   //n为图的顶点个数，用于存储与最小生成树顶点所邻接的边的最小权值

int v                //指向候选顶点

好，我们开始，以下都是手画，画的不好还请见谅。

1、图的结构和邻接矩阵

![20170902113732321][]

2、vset数组初始化为0，lowcost数组初始化为邻接矩阵第0行的内容。(这里的数组下标与图的顶点编号相对应)

3、vset\[0\] = 1 ，并且让v = 0，即指向编号为0的顶点

![20170902114240198][]

4、由于已经处理了一个顶点了，所以还需要操作n-1次。(n为图的顶点个数)

5、寻找lowcost数组的最小值(寻找的时候，要先看一下当前操作的这个顶点编号，即lowcost的数组下标，在vset数组中是否为0。比如,0,在vset数组中已经为1，所以不访问)  显然为1，用变量k指向它。

6、把v的值变为1，即v = 1；并把vset\[1\] = 1，把编号为1的顶点加进来，红笔表示最小生成树的边

![20170902115132392][]

7、扫描邻接矩阵的第v行，这里为1，如果发现有比lowcost当前值小的，即更新。同样要注意【5】中的附加条件。

下图红框中的即为更新后的

![20170902115427862][]

8、重复【5】【6】【7】直到vset数组全为1

最后变为

![20170902115853442][]

算法结束。

接下来，就是C语言代码了

int Prim(Graph g)
    {
    	int sum = 0, v;
    	int vset[Max];
    	info lowcost[Max];//保存最小生成树的顶点是谁拉进来的
    	int i;
    	//init
    	for(i = 0 ; i < Max ; i++)
    	{
    		vset[i] = 0;
    	}
    
    	for(i = 1 ; i <= g->n ; i++)
    	{
    		lowcost[i].data = g->table[1][i];
    		lowcost[i].from = 1;
    	}
    
    	vset[1] = 1;
    
    	//main
    	for(i = 1 ; i <= g->n-1 ; i++)
    	{
    		int k , min = Max , p = 0;
    		//find min weight & position
    		for(k = 1 ; k <= g->n ; k++)
    		{
    			if(lowcost[k].data < min && vset[k] == 0)
    			{
    				min = lowcost[k].data;
    				p = k;
    			}
    		}
    		//add
    		sum += min;
    		//update lowcost array
    		v = p;
    		for(k = 1 ; k <= g->n ; k++)
    		{
    			if(vset[k] == 0 && g->table[v][k] < lowcost[k].data)
    			{
    				lowcost[k].data = g->table[v][k];
    				lowcost[k].from = v;
    			}
    		}
    		vset[v] = 1;
    	}
    	return sum;
    }

其中，上面的代码中用p指向最小值所在位置，

Graph g中包含 int table\[Max\]\[Max\]  //邻接矩阵，Max为先前定义的最大值

int n , e//n为图顶点个数，e为图的边数

这里是图的顶点连续的情况，数组下标即为顶点编号，最大限度利用数据结构

[20170902113732321]: /images/20220609/efbd4a47397d49fdaa8af02cd7b16b6c.png
[20170902114240198]: /images/20220609/a9f6ddd151eb48d886e22305130eb327.png
[20170902115132392]: /images/20220609/f2451a0532ca4f74bdd41a1f4cb8592e.png
[20170902115427862]: /images/20220609/1790b6906ad94c4f8956bb7c493a3d1f.png
[20170902115853442]: /images/20220609/b4c2a565273845b9ac0ac112896efce6.png