模板--Floyd Dijkstra Bellman-Ford spfa 四种最短路经典算法

怼烎@ 2022-06-11 04:38 140阅读 0赞

Floyd Dijkstra Bellman-Ford spfa 四种最短路经典算法汇总

# 最短路 #

Problem Description

在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。  
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。

Output

对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

Sample Input

2 1
    1 2 3
    3 3
    1 2 5
    2 3 5
    3 1 2
    0 0

Sample Output

3
    2

具体算法思路见代码：

No. 1 Floyd

#include <bits/stdc++.h>
     #define endl "\n"
     #define inf 0x7fffffff
    using namespace std;
    
    const int MAXN = 100 + 7;
    
    int n, m;
    int dis[MAXN][MAXN];
    
    void Init() {
            for(int i = 0; i <= n; ++i) {
                    for(int j = 0; j <= n; ++j) {
                            i == j ? dis[i][j] = 0 : dis[i][j] = inf;
                    }
            }
    }
    
    int main()
    {
            ios::sync_with_stdio(false);
            while(cin >> n >> m) {
                    if(!n && !m) break;
                    Init();
                    int u, v, w;
                    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
                            cin >> u >> v >> w;
                            dis[u][v] = min(w, dis[u][v]);
                            dis[v][u] = min(w, dis[v][u]);
                    }
    
                    /**************************************
                     *        Floyd O(n^3)
                     *      三行情书, for 循环中i, j, k
                     *      顺序不能变（k）
                     *      本质是动态规划，枚举状态，转移
                    **************************************/
    
                    for(int k = 1; k <= n; ++k) {
                            for(int i = 1; i <= n; ++i) {
                                    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
                                            if(dis[i][k] < inf && dis[k][j] < inf && dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) {
                                                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                                            }
                                    }
                            }
                    }
    
                    cout << dis[1][n] << endl;
            }
            return 0;
    }

**No. 2 Dijkstra**

/**********************************************************
     *           最短路Dijkstra算法  O(n^2)
     *   适用于求单源最短路，不适合带有负权的情形
     *   算法思想：从原点出发，每次找一个源点能到达的最短路
     *          径并找到该点将其标号，再从源点开始将所有
     *          点的距离依照
     *             dis[j] > dis[index] + gra[index][j]
     *          更新
     *   基于：最短路的子路也一定是最短路
     *********************************************************/
     #include <bits/stdc++.h>
     #define endl "\n"
     #define inf 0x7ffffff
    using namespace std;
    
    const int MAXN = 100 + 7;
    int n, m;
    int dis[MAXN], vis[MAXN], gra[MAXN][MAXN];
    
    void Init() {
            for(int i = 0; i <= n; ++i) {
                    vis[i] = 0;
                    for(int j = 0; j <= n; ++j) {
                            gra[i][j] = inf;
                    }
            }
    }
    
    void Dijkstra(int u) {
            int mindis = inf, index;
            vis[u] = 1, dis[u] = 0;
            for(int i = 1; i <= n; ++i) {
                    dis[i] = gra[u][i];
            }
            for(int i = 1; i <= n; ++i) {
                    mindis = inf;
                    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
                            if(!vis[j] && dis[j] < mindis) {
                                    mindis = dis[j];
                                    index = j;
                            }
                    }
                    vis[index] = 1;
                    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
                            if(!vis[j] && dis[index] + gra[index][j] < dis[j]) {
                                    dis[j] = dis[index] + gra[index][j];
                            }
                    }
            }
    }
    
    int main()
    {
            ios::sync_with_stdio(false);
            while(cin >> n >> m) {
                    if(!n && !m) break;
                    Init();
                    int u, v, w;
                    for(int i = 0; i < m; ++i) {
                            cin >> u >> v >> w;
                            gra[u][v] = min(gra[u][v], w);
                            gra[v][u] = min(gra[v][u], w);
                    }
                    Dijkstra(1);
                    cout << dis[n] << endl;
            }
            return 0;
    }

**No. 3 Bellman-Ford**

/*******************************************************
     *              Bellman-Ford  O(V*E)
     *      使用条件更广泛，可处理带环，负权，负环的问题
     *          可求得单元最短路并求出路径反向输出
     *      算法伪码：
     *      BELLMAN-FORD(G, w, s)
     *      1  INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
     *      2  for i ← 1 to |V[G]| - 1      // 最多n-1次松弛
     *      3       do for each edge (u, v) ∈ E[G]
     *      4              do RELAX(u, v, w)
     *      5  for each edge (u, v) ∈ E[G]
     *      6       do if d[v] > d[u] + w(u, v)
     *      7             then return FALSE
     *      8  return TRUE
     *      算法思想：
     *      首先初始化所有dis[i] = inf
     *      对于每一条边e(u, v)，
     *      如果
     *              dis[u] + w(u, v) < dis[v]
     *      则令
     *              dis[v] = dis[u]+w(u, v)
     *      w(u, v)为边e(u,v)的权值；
     *      为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。
     *      松弛完成后，对于每一条边e(u, v)，如果存在
     *              dis[u] + w(u, v) < dis[v]的边，
     *      则图中存在负环路，即是说该图无法求出单源最短路径。
     *      否则数组dis[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。
     *
     *      PS：无向图可用反向建边的方式
     *
     ******************************************************/
     #include <bits/stdc++.h>
     #define endl "\n"
     #define inf 0x7fffffff
    using namespace std;
    
    const int MAXN = 100 + 7;
    
    struct Edge {
            int u, v, w;
    }edge[MAXN * MAXN * 2];
    
    int dis[MAXN], n, m;
    
    void Init() {
            for(int i = 1; i <= 2*m; ++i) {
                    edge[i].w = inf;
            }
            for(int i = 0; i <= n; ++i) {
                   dis[i] = inf;
            }
    }
    
    bool BellmanFord(int u) {
            dis[u] = 0;
            for(int i = 1; i < n; ++i) {
                    for(int j = 1; j <= 2*m; ++j) {
                            if(dis[edge[j].u] < inf) {
                                    dis[edge[j].v] = min(dis[edge[j].v], dis[edge[j].u] + edge[j].w);
                            }
                    }
            }
            bool flag = true;
            for(int i = 1; i <= 2*m; ++i) {
                    if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].w) {
                            flag = false;
                            break;
                    }
            }
            return flag;
    }
    
    int main()
    {
            ios::sync_with_stdio(false);
            while(cin >> n >> m) {
                    if(!n && !m) break;
                    Init();
                    int u, v, w;
                    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
                            cin >> u >> v >> w;
                            edge[i].u = u;
                            edge[i].v = v;
                            //cout << edge[i].w << endl;
                            edge[i].w = min(w, edge[i].w);
                            edge[i+m].u = v;
                            edge[i+m].v = u;
                            edge[i+m].w = min(w, edge[i+m].w);
                    }
                    BellmanFord(1);
                    cout << dis[n] << endl;
            }
            return 0;
    }

**No. 4 Spfa (亦即优化的Bellman-Ford)**

/*******************************************************
     *              spfa   O(k * E)  (k 一般 <= 2)
     *      算法思想：spfa其实就是改进的Bellman-Ford
     *          这里将由i发出的能直接到达的点存放在
     *          link[i]里，用bfs进行松弛操作，将在队
     *          列里面的点标记，每次将队首元素出列，
     *          根据link[v]遍历与v连接的点并进行松弛
     *          操作，遍历完所有点后就得到了最短路（存在）
     *          再开一个cnt数组，cnt[i]表示i进入队列
     *          的次数，当i>n时，存在负环，无最短路
     * #define endl "\n"
     #define inf 0x7fffffff          // 注意inf的条件
    using namespace std;
    
    const int MAXN = 100 + 7;
    int gra[MAXN][MAXN], vis[MAXN], dis[MAXN], cnt[MAXN];
    vector< vector<int> > link(MAXN);     // link[i]中存由i能直接到达的点的编号
    int n, m;
    void Init() {
            for(int i = 0; i < MAXN; ++i) { // 多重vector不能直接link.clear()
                    link[i].clear();
            }
            for(int i = 0; i <= n; ++i) {
                    dis[i] = inf;
                    cnt[i] = vis[i] = 0;
            }
            for(int i = 0; i <= n; ++i) {
                    for(int j = 0; j <= n; ++j) {
                            i == j ? gra[i][j] = 0 : gra[i][j] = inf;
                    }
            }
    }
    
    bool spfa(int u) {
            dis[u] = 0;
            cnt[u] = vis[u] =  1;             // vis代表在不在队列内
            queue<int> q;
            q.push(u);
            while(!q.empty()) {
                    int v = q.front();
                    vis[v] = 0;     // 每次队首元素出队列就将vis[v]置零
                    q.pop();
                    for(int i = 0; i < link[v].size(); ++i) {       // 由v指向的所有点进行松弛操作
    
                            if(dis[v] < inf && dis[link[v][i]] > dis[v] + gra[v][link[v][i]]) {
                                    dis[link[v][i]] = dis[v] + gra[v][link[v][i]];
                                    if(!vis[link[v][i]]) {
                                            q.push(link[v][i]);
                                            vis[link[v][i]] = 1;
                                            cnt[link[v][i]]++;
                                            if(cnt[link[v][i]] > n) return false;   // 存在负环
                                    }
                            }
                    }
            }
            return true;
    }
    
    int main()
    {
            ios::sync_with_stdio(false);
            while(cin >> n >> m) {
                    if(!n && !m) break;
                    Init();
                    int u, v, w;
                    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
                            cin >> u >> v >> w;
                            gra[u][v] = min(w, gra[u][v]);          // 无向图反向建边
                            gra[v][u] = min(w, gra[v][u]);
                            link[u].push_back(v);
                            link[v].push_back(u);
                    }
                    spfa(1);
                    cout << dis[n] << endl;
            }
            return 0;
    }