协方差矩阵和散布矩阵（散度矩阵）的意义

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-06-18 10:09 288阅读 0赞

# 协方差矩阵和散布矩阵（散度矩阵）的意义 #

【[尊重][Link 1] [原创，转载请注明出处][Link 1] 】http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/69113407

在[机器学习][Link 2]模式识别相关算法中，经常需要求样本的协方差矩阵C和散布矩阵S。如在PCA主成分分析中，就需要计算样本的散度矩阵，而有的教材资料是计算协方差矩阵。实质上协方差矩阵和散度矩阵的意义就是一样的，散布矩阵（散度矩阵）前乘以系数1/(n-1)就可以得到协方差矩阵了。

在模式识别的教程中，散布矩阵也称为散度矩阵，有的也称为类内离散度矩阵或者类内离差阵，用一个等式关系可表示为：

**  ****关系：散度矩阵=类内离散度矩阵=类内离差阵=协方差矩阵×（n-1）**

样本的协方差矩阵乘以*n-1*倍即为散布矩阵，*n*表示样本的个数，**散布矩阵的大小由特征维数*****d*****决定，**是一个为*d×d *的半正定矩阵。

## 一、协方差矩阵的基础 ##

对于二维随机变量（X,Y）之间的相互关系的数字特征，我们用协方差来描述，记为Cov(X,Y)：

![Center][]

那么二维随机变量(X,Y)的**协方差矩阵，为**：

![Center 1][]

对于三维随机变量***X*=（*X1, X2, X*3****）**的协方差矩阵可表示为：

![Center 2][]

对于*n*维***X*=（*X1, X2....X n*****）**协方差矩阵：

![Center 3][]

## 需要特别说明的是： ##

（1）协方差矩阵是一个**对称矩阵**，且是**半正定矩阵**，主对角线是各个随机变量* *的方差（各个维度上的方差）。

（2）标准差和方差一般是用来描述一维数据的；对于多维情况，而协方差是用于描述任意两维数据之间的关系，一般用协方差矩阵来表示。因此协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的。

（3）协方差计算过程可简述为：先求各个分量的均值E(Xi)和E(Xj)，然后每个分量减去各自的均值得到两条向量，在进行内积运算，然后求内积后的总和，最后把总和除以*n-1*。

**    例子：**设有8个样本数据，每个样本有2个特征：(1,2);(3 3);(3 5);(5 4);(5 6);(6 5);(8 7);(9 8)，那么可以看作二维的随机变量（X,Y），即

*   X *=\[1 3 3 5 5 6 8 9\]

*   Y *=\[2 3 5 4 6 5 7 8\]

Matlab中可以使用cov(X, Y)函数计算样本的协方差矩阵，其中X,Y都是特征向量。当然若用*X *表示样本的矩阵（X中每一行表示一个样本，每列是一个特征），那么可直接使用cov(X)计算了。

**\[plain\]**  [view plain][]   [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  clear all  
2.  clc  
3.  X=\[1,2;3 3;3 5;5 4;5 6;6 5;8 7;9 8\]%样本矩阵：8个样本，每个样本2个特征  
4.  covX= cov(X)%使用cov函数求协方差矩阵

运行结果为：

**\[plain\]**  [view plain][]   [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  covX =  
2.    
3.      7.1429    4.8571  
4.      4.8571    4.0000

当然，可以按定义计算，Matlab代码如下：

clear all
    clc
    X=[1,2;3 3;3 5;5 4;5 6;6 5;8 7;9 8] %样本矩阵：8个样本，每个样本2个特征
    covX= cov(X)                                %使用cov函数求协方差矩阵
    %% （1）使用分量的方法，先求协方差c，再组合成协方差矩阵C
    meanX=mean(X)        %样本均值
    varX=var(X)               %样本方差
    [Row Col]=size(X);
    dimNum=Row;          %s样本个数size(X,1)=8
    dim1=X(:,1);              %特征分量1
    dim2=X(:,2);              %而在分量2
    c11=sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim1-mean(dim1)) ) / ( dimNum-1 );
    c21=sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim1-mean(dim1)) ) / ( dimNum-1 ); 
    c12=sum( (dim1-mean(dim1)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( dimNum-1 ); 
    c22=sum( (dim2-mean(dim2)) .* (dim2-mean(dim2)) ) / ( dimNum-1 );
    C22=[c11,c12;c21,c22]%协方差矩阵
    
    %% 或者（2）直接求协方差矩阵C
    tempX= repmat(meanX,Row,1);  
    C22=(X-tempX)'*(X-tempX)/(dimNum-1)

运行结果：

covX =
        7.1429    4.8571
        4.8571    4.0000
    
    meanX =
         5     5
    varX =
        7.1429    4.0000
    C22 =
        7.1429    4.8571
        4.8571    4.0000
    C22 =
        7.1429    4.8571
        4.8571    4.0000

说明： 从中可以发现，样本的协方差矩阵的对角线即为样本的方差。

##    二、协方差矩阵的几何意义 ##

为了更好理解协方差矩阵的几何意义，下面以二维正态分布图为例（假设样本服从二维正态分布）：

![Center 4][]

**\[plain\]**  [view plain][]   [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  clear all;clc  
2.  mu=\[0,0\];         % 均值向量  
3.  C=\[5 0;0 1\]       %样本的协方差矩阵  
4.  \[V,D\] =eigs(C)    %求协方差矩阵的特征值D和特征向量V  
5.   %% 绘制二维正态分布图  
6.  \[X,Y\]=meshgrid(-10:0.3:10,-10:0.3:10);%在XOY面上，产生网格数据  
7.  p=mvnpdf(\[X(:) Y(:)\],mu,C);%求取联合概率密度，相当于Z轴  
8.  p=reshape(p,size(X));%将Z值对应到相应的坐标上  
9.  figure  
10. set(gcf,'Position',get(gcf,'Position').\*\[1 1 1.3 1\])  
11. subplot(2,3,\[1 2 4 5\])  
12. surf(X,Y,p),axis tight,title('二维正态分布图')  
13. subplot(2,3,3)  
14. surf(X,Y,p),view(2),axis tight,title('在XOY面上的投影')  
15. subplot(2,3,6)  
16. surf(X,Y,p),view(\[0 0\]),axis tight,title('在XOZ面上的投影');

协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：

**\[plain\]**  [view plain][]   [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  V =  
2.       1     0  
3.       0     1  
4.    
5.  D =  
6.       5     0  
7.       0     1

**说明：**

1)均值\[0,0\]代表正态分布的中心点，方差代表其分布的形状。

2)协方差矩阵C的最大特征值D对应的特征向量V指向样本分布的主轴方向。例如，最大特征值D1=5对应的特征向量V1=\[1 0\]T即为样本分布的主轴方向（一般认为是数据的传播方向）。次大特征值D2=1对应的特征向量V2=\[0 1\]T,即为样本分布的短轴方向。

![Center 5][]

![Center 6][]

协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：

**\[plain\]**  [view plain][]   [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  V =  
2.       0     1  
3.       1     0  
4.    
5.  D =  
6.    
7.       5     0  
8.       0     5

** 说明：**

1)由于协方差矩阵C具有两个相同的特征值D1=D2=5,因此样本在V1和V2特征向量方向的分布是等程度的，故样本分布是一样圆形。

2)特征值D1和D2的比值越大，数据分布形状就越扁；当比值等于1时，此时样本数据分布为圆形。

![Center 7][]

![Center 8][]

协方差矩阵C的特征值D和特征向量V分别为：

**\[plain\]**  [view plain][]   [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  V =  
2.      0.7071   -0.7071  
3.      0.7071    0.7071  
4.    
5.  D =  
6.       6     0  
7.       0     4

** 说明：**

1)特征值的比值D1/D2=6/4=1.5>1，因此样本数据分布形状是扁形，数据传播方向（样本的主轴方向）为V1=\[0.7071 0.7071\]T

![Center 9][]

**综合上述，可知： **

(1)样本均值决定样本分布中心点的位置。

(2)协方差矩阵决定样本分布的扁圆程度。

是扁还是圆，由协方差矩阵的特征值决定：当特征值D1和D2的比值为1时（D1/D2=1），则样本分布形状为圆形。当特征值的比值不为1时，样本分布为扁形；

偏向方向（数据传播方向）由特征向量决定。最大特征值对应的特征向量，总是指向数据最大方差的方向（椭圆形的主轴方向）。次大特征向量总是正交于最大特征向量（椭圆形的短轴方向）。

**三、协方差矩阵的应用**

协方差矩阵（散布矩阵）在模式识别中应用广泛，最典型的应用是PCA主成分分析了，PCA主要用于降维，其意义就是将样本数据从高维空间投影到低维空间中，并尽可能的在低维空间中表示原始数据。这就需要找到一组最合适的投影方向，使得样本数据往低维投影后，能尽可能表征原始的数据。此时就需要样本的协方差矩阵。PCA[算法][Link 3]就是求出这堆样本数据的协方差矩阵的特征值和特征向量，而协方差矩阵的特征向量的方向就是PCA需要投影的方向。

关于PCA的原理和分析，请见鄙人的博客：

《[PCA主成分分析原理分析和Matlab实现方法][PCA_Matlab]》：http://blog.csdn[.NET][]/guyuealian/article/details/68487833

如果你觉得该帖子帮到你，还望贵人多多支持，鄙人会再接再厉，继续努力的~

![Center 10][]

[Link 1]: http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/69113407
[Link 2]: http://lib.csdn.net/base/machinelearning
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[Center 1]: /images/20220618/c7fc80a35e1044d9b336619d7880a080.png
[Center 2]: /images/20220618/9f3711560bdc4ff9856b2aec855d2a60.png
[Center 3]: /images/20220618/1701a7e27e4147a6b53c669cf3821f56.png
[view plain]: http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/68922981#
[CODE]: https://code.csdn.net/assets/CODE_ico.png
[CODE_CODE]: https://code.csdn.net/snippets/2304969
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[Center 5]: /images/20220618/fac787384da14dc1a83f37f44b605bad.png
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[Center 8]: /images/20220618/0b2e6de71be44780a5531feeeed730be.png
[Center 9]: /images/20220618/0e73b48d4cc6409cb9bf9b3296c480fa.png
[Link 3]: http://lib.csdn.net/base/datastructure
[PCA_Matlab]: http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/68487833
[.NET]: http://lib.csdn.net/base/dotnet
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