常用数学公式推导及概念

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2022-07-12 10:52 245阅读 0赞

**常用数学公式及概念：**

**1.连续求和**

求解：1+2+3+.....+n

首尾相加

n(n+1)/2

**2.平方和**

求解：1^2+2^2+3^2+...+n^2

根据恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

..............................

3^3-2^3=3\*(2^2)+3\*2+1

2^3-1^3=3\*(1^2)+3\*1+1.

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式得：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理后得：

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

**3.立方和**

求解：1^3+2^3+\*\*\*\*\*\*+n^3

类似的利用恒等式(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1

得

(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1

...........

2^4-1^4=4+6+4+1

n个等式两边相加得

(n+1)^-1^4=4(1^3+2^3+ ....+n^3)+6\*(1^2+2^2+ ....+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

代入1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 及1+2+3+...+n=(n+1)n/2

整理得

4(1^3+2^3+ ....+n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n

4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n

4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+2n^3+n^2

(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^2(n^2+2n+1)/4

=n^2(n+1)^2/4

**4.对数函数**

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0,a≠1，b>0）

当0<a<1, 0<b<1时，y=logab>0;

当a>1, b>1时，y=logab>0;

当0<a<1, b>1时，y=logab<0;

当a>1, 0<b<1时，y=logab<0。

**5.数学期望**

**前言：平均数是一个统计学概念，期望是一个概率论概念**

**平均数是实验后根据实际结果统计得到的样本的平均值，期望是实验前根据概率分布“预测”的样本的平均值**

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和的平均。是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。

离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率pi乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（x）。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。

例子

某城市有10万个家庭，没有孩子的家庭有1000个，有一个孩子的家庭有9万个，有两个孩子的家庭有6000个，有3个孩子的家庭有3000个。

则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为X。它可取值0，1，2，3。

其中取0的概率为0.01取1的概率为0.9，取2的概率为0.06，取3的概率为0.03。

它的数学期望0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11，即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。

用数学式子表示为E(X)=1.11。

**6.一元多项式**

代数学研究的基本对象之一。设P是一个数域，x是一个文字。形式表达式称为系数在数域P上x的一元多项式，或称数域P上的一元多项式。

设a0，a1，a2，…，an-1，an都是数域F中的数（注：1,2,……,n-1,n均为a的下角标），n是非负整数，那么表达式

anx^n +an-1x^(n-1)+…+a2x^2 +a1x + a0（an≠0） (1)

叫做数域F上一个文字x的多项式或一元多项式。在多项式（1）中，a0叫做零次多项式或常数项，a1x叫做一次项，一般，aix叫做i次项，ai叫做i次项的系数。一元多项式用符号f(x)，g(x)，…来表示。

**7.数制转换**

十进制数N和其他d进制数的转换是计算机实现计算的基本问题，其解决方法很多，其中一个简单算法基于下列原理。

N=(N div d) × d + N mod d （其中：div为整除运算，mod为求余运算）

例如：（1348）十进制 = （2504）八进制

N N div 8 N mod 8

1348 168 4

168 21 0

21 2 5

2 0 2

最后一列从下往上取值：2504

**未完待续......**

发表评论取消回复

表情：

评论列表（有 0 条评论，245人围观）

还没有评论，来说两句吧...

相关阅读

相关数学中常用公式符号

代数符号比较： ≥ 大于等于 ≤ 小于等于 ≈ 约等于 ≠ 不等于 ≌ 约等于 ∽ 相似 >> 远大于运算符号： ≡ 恒等于或同余，全等 ! 阶乘

系统管理员/ 2022年12月13日 15:27/ 0 赞/ 327 阅读

相关 markdown数学公式（常用版介绍）

markdown数学公式（常用版介绍） 1.行内 2.段落 3.上标 4.下标 5.括号 6.求和与积分 7.分式与根式

雨点打透心脏的1/2处/ 2022年12月12日 13:43/ 0 赞/ 480 阅读

相关 Tex数学公式及字符

上下标上标符号为“^”、下标符号为“\_” , 例如 : `2^r , a_5` 2 r , a 5 2^r , a\_5 2r,a5 可

傷城~/ 2022年12月05日 13:58/ 0 赞/ 236 阅读

相关 Maximum Mean Discrepancy介绍及公式推导

目录指导思想要求掌握的知识 MMD介绍 f f f约束深度理解MMD 推导指导思想本质上，两个分布不同就是两

ゝ一世哀愁。/ 2022年10月19日 13:00/ 0 赞/ 151 阅读

相关 CNN公式推导

CNN公式推导 1 前言在看此blog之前，请确保已经看懂我的前两篇blog【深度学习笔记1(卷积神经网络)】和【BP算法与公式推导】。并且已经看过文献\[1\]

男娘i/ 2022年08月01日 06:13/ 0 赞/ 362 阅读

相关 Unity常用数学计算公式

Mathf.Abs绝对值计算并返回指定参数 f 绝对值。 Mathf.Acos反余弦 static function Acos (f : f

青旅半醒/ 2022年07月15日 12:21/ 0 赞/ 284 阅读

相关 Unity常用数学计算公式

Mathf.Abs绝对值计算并返回指定参数 f 绝对值。 Mathf.Acos反余弦 static function Acos (f : f

骑猪看日落/ 2022年07月15日 12:21/ 0 赞/ 241 阅读

相关常用数学公式推导及概念

常用数学公式及概念： 1.连续求和求解：1+2+3+.....+n 首尾相加 n(n+1)/2 2.平方和求解：1^2+2^2+3^2+...+n^2

╰+哭是因爲堅強的太久メ/ 2022年07月12日 10:52/ 0 赞/ 246 阅读

相关 DPMM的理解、公式推导及抽样

DPMM学习的基础及相关论文学习DPMM(Dirichlet 过程混合模型)之前，首先要去理解DP过程及其三种构造方式，（1）Stick-breaking 构造，（2）

梦里梦外;/ 2022年06月08日 00:28/ 0 赞/ 437 阅读

相关布隆过滤器概念及其公式推导

布隆过滤器概念及其公式推导布隆过滤器概念数据如何存入布隆过滤器误判情况实际应用面试题公式推导误判概率即

刺骨的言语ヽ痛彻心扉/ 2022年01月29日 09:25/ 0 赞/ 233 阅读