PE 131 Prime cube partnership （数论）-蒲公英云

PE 131 Prime cube partnership （数论）

冷不防 2022-07-13 13:18 183阅读 0赞

Prime cube partnership

Problem 131

There are some prime values, p, for which there exists a positive integer, n, such that the expression n3 + n2p is a perfect cube.

For example, when p = 19, 83 + 82×19 = 123.

What is perhaps most surprising is that for each prime with this property the value of n is unique, and there are only four such primes below one-hundred.

How many primes below one million have this remarkable property?

题意：

素数立方数组合

对于某些素数p，存在正整数n，使得表达式n3 + n2p是立方数。

例如，对于p = 19，83 + 82×19 = 123。

非常奇特的是，对于满足这个性质的素数，n的值都是唯一的。在小于一百的素数中，只有四个素数满足这个性质。

在小于一百万的素数中，有多少个素数满足这个神奇的性质？

题解：这题还是从数论上下手吧。

因为p是素数,n3+n2p=m3，所以n^2(n+p)=m^3.

所以只能让n和n+p都为立方数, 所以这两个立方数相减的差就是一个素数p,

又因为a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2),所以只有当a-b=1时，a^3 - b^3才可能是一个素数.

所以只需要检查相邻的2个立方数之差是否是素数就可以了.

即(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1。

所以这题就变成了只需要检查3n^2+3n+1是否是素数就可以了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> primes;
int prime[1000000];
void getPrimes()
{    
    for(int i = 0 ; i < 1000000; i++){
        prime[i] = 1;   
    }
    for(int i = 2 ; i < 1000000; i++)
    {
        if (prime[i])
        {
            primes.push_back(i);
            if(i <= (int)sqrt((double)1000000))
            {    
                for(int t = i*i ; t<1000000 ; t+=i)//prime[i*i+k*i]=false
                {   
                    prime[t] = 0;
                }
            }
        }
    }
}
int solve(int n)
{
  int ans = 0;
  for (int x = 1; x * x * 3 + x * 3 + 1 < n; x++)
  {
    if (prime[x * x * 3 + x * 3 + 1]){
        ans++;
    }
  }
  return ans;
}
int main()
{
  getPrimes();
  cout<<"init finish!"<<endl;
  cout<<solve(1000000)<<endl;
  return 0;
}