复化的梯形公式、Simpson公式与Cotes公式的比较(用Matlab实现）

落日映苍穹つ 2022-07-16 13:50 279阅读 0赞

对于函数f(x) = sin(x) ，试用复化梯形公式、复化Simpson公式及复化Cotes公式计算积分，并比较其误差。

首先，在MATLAB输入以下程序定义函数：

function y=f(x) 
    y=sin(x);

1.复化梯形求积公式的代码

function Tn=Tn(a,b,n)
        format long
        h=(b-a)/n;
        sum=0;
        for k=1:n-1
            sum=sum+f(a+k.*h);
        end
        Tn=(f(a)+2*sum+f(b))*h/2;
      end

2. 复化Simpson公式的代码

function Sn = Sn(a,b,n)
        format long
        h = (b-a)/n;
        sum1 = 0;
        sum2 = 0;
        for i = 0:n-1
            sum1 = sum1 + f(a+(i+1/2).*h);
        end
        for j = 1:n-1
            sum2 = sum2 + f(a+j.*h);
        end
        Sn = h/6*(f(a)+4*sum1+2*sum2+f(b));

3. 复化Cotes公式的代码

function Cn = Cn(a,b,n)
        format long
        h = (b-a)/n;
        sum1 = 0;
        sum2 = 0;
        for i = 0:n-1
            sum1 = sum1 + 32*f(a+(i+1/4).*h)+12*f(a+(i+1/2).*h)+32*f(a+(i+3/4).*h);
        end
        for j = 1:n-1
            sum2 = sum2 + 14*f(a+j.*h);
        end
    Cn = h/90*(7*f(a)+sum1+sum2+7*f(b));

4.不同区间和分割次数下的精确值和近似值的比较代码

y=[-0.150920964949986,0.106044306328975,-1.260000791649389,1.122733727670800,0.185427920752058,0.955618503172607];
    Tn=[-0.144707438957434 ,0.103357516942886,-0.809037206720437,1.074587530720150,0.176653381231435 ,0.874739367319743];
    Sn=[-0.150933735388946,0.106047691917755 ,-1.267931587831384,1.122836754412495,0.185448626084829 ,0.956086587141625];
    Cn=[ -0.150920958200157,0.106044290463326,-1.259953005777527,1.122733636186552,0.185427890841067,0.955744078179222];
    plot(y,'-k*');
    hold on;
    plot(Tn,'-g.');
    hold on;
    plot(Sn,'-bo');
    hold on;
    plot(Cn,'-r+');
    legend('精确值','Tn','Sn','Cn');

5.图像

![20161119193647786][]

6.结果分析

1 误差分析  
在上面的数值计算中，复化Cotes公式计算所得的误差最小，其次是复化Simpson公式，误差最大的是复化梯形公式。  
  
2 精确值比较  
它们的精度有很大的差别：与精确值比较，复化梯形公式的结果只有一位有效数字，复化Simpson公式的结果有四位有效数字，而复化Cotes公式的结果却有七位有效数字。  
由此可知，复化Cotes公式的代数精度最高，复化Simpson其次，复化梯形公式的代数精度最低。  
  
3 收敛性分析  
![20161121195830072][]  
  
4 稳定性分析

![20161121195823619][]  
  
可知三个求积公式的求积系数都为正，所以复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Cotes公式均是稳定的。

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[20161121195830072]: /images/20220715/557f86e0ffec41eeaea90842bd1d6738.png
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