hdu4489 dp+递推

待我称王封你为后i 2022-08-19 14:21 155阅读 0赞

题意：

有n个高矮不同的士兵，现在要将他们按高，矮依次排列，问有多少种情况。

分析：

组合dp问题。

假设n个士兵的身高分别为1，2......n。

我们现在考虑n个士兵的情况，最后一个身高为n的最高的士兵应该站在哪里呢。我们可以看到前面有n-1个士兵，一共有n个位置可以站，但是我们注意到要按高矮的顺序排列。因为n的身高最高，所以他插入的位置前面一个人应该是按照下降得到的，后面一个人应该是按照上升得到的。

假设dp\[i\]\[0\]表示的是有i个人，并且第二个人比第一个人高的情况，dp\[i\]\[1\]表示的是有i个人，并且最后一个人比倒数第二个人矮的情况，士兵n插入位置为前面有i个人，后面有n-1-i个人，这时的情况种数应该为：dp\[i\]\[1\]\*dp\[n-1-i\]\[0\]\*C(n-1,i)，最后乘以组合数的原因是在n-1个人中选出i个人的种数。这是要计算的总的情况数sum\[n\] 就等于将n依次插入n个位置得到的种数和。其中我们注意到，dp\[i\]\[0\] = dp\[i\]\[1\] = sum\[i\]/2.

#include <iostream>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cmath>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    #define LL long long
    const int maxn = 25;
    
    LL dp[maxn][2];
    //dp[i][0]表示的是有i个人，并且第二个人比第一个人高的情况
    //dp[i][1]表示的是有i个人，并且最后一个人比倒数第二个人矮的情况
    LL sum[maxn];
    
    LL cal(int a,int b)
    {
        if(b==0)return 1;
        LL ans = 1 ;
        b = min(b,a-b);
        for(int i = 1 ; i <= b ; i++)
        {
            ans*=(a-i+1);
            ans/=i;
        }
        //cout<<ans<<endl;
        return ans;
    }
    
    void call()
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        sum[1] = 1 ; //初始化
        sum[2] = 2 ;
        dp[0][0] = dp[0][1] = 1 ;
        dp[1][0] = dp[1][1] = 1 ;
        dp[2][0] = dp[2][1] = 1 ;
        for(int i = 3 ; i <= 20 ; i++)
        {
            for(int j = 0 ; j < i ; j++)
            {
                sum[i]+=dp[j][0]*dp[i-1-j][1]*cal(i-1,j);
                //cout<<sum[i]<<endl;
            }
            //cout<<sum[i]<<endl;
            dp[i][0] = dp[i][1] = sum[i]/2;
        }
    }
    
    int main()
    {
        call();
        int t,n,d;
        scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            scanf("%d%d",&d,&n);
            printf("%d %I64d\n",d,sum[n]);
        }
        return 0;
    }