数据结构之Dijkstra算法

た入场券 2022-09-23 03:48 134阅读 0赞

**基本思想**

通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作，直到遍历完所有顶点

**操作步骤**

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”\[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞\]。

(2) 从U中选出”距离最短的顶点k”，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

**实现**

// 邻接矩阵
    typedef struct _graph
    {
        char vexs[MAX];       // 顶点集合
        int vexnum;           // 顶点数
        int edgnum;           // 边数
        int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
    }Graph, *PGraph;
    
    // 边的结构体
    typedef struct _EdgeData
    {
        char start; // 边的起点
        char end;   // 边的终点
        int weight; // 边的权重
    }EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。  
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix\[i\]\[j\]=1，则表示”顶点i(即vexs\[i\])”和”顶点j(即vexs\[j\])”是邻接点；matrix\[i\]\[j\]=0，则表示它们不是邻接点。  
EData是邻接矩阵边对应的结构体。

**迪杰斯特拉算法**

/*
     * Dijkstra最短路径。
     * 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
     *
     * 参数说明：
     *        G -- 图
     *       vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
     *     prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
     *     dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
     */
    void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
    {
        int i,j,k;
        int min;
        int tmp;
        int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
    
        // 初始化
        for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
        {
            flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
            prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
            dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
        }
    
        // 对"顶点vs"自身进行初始化
        flag[vs] = 1;
        dist[vs] = 0;
    
        // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
        for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
        {
            // 寻找当前最小的路径；
            // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
            min = INF;
            for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
            {
                if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
                {
                    min = dist[j];
                    k = j;
                }
            }
            // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
            flag[k] = 1;
    
            // 修正当前最短路径和前驱顶点
            // 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
            for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
            {
                tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
                if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
                {
                    dist[j] = tmp;
                    prev[j] = k;
                }
            }
        }
    
        // 打印dijkstra最短路径的结果
        printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);
        for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
            printf("  shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
    }

**references**

[Dijkstra算法(一)之 C语言详解 - 如果天空不死 - 博客园][Dijkstra_ C_ - _ -]

[Dijkstra_ C_ - _ -]: http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711512.html