数据结构--Dijkstra算法最清楚的讲解

「爱情、让人受尽委屈。」 2023-06-07 12:18 21阅读 0赞

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型`最短路径算法`，`用于计算一个节点到其他节点的最短路径`。

它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(`广度优先搜索思想`)，直到扩展到终点为止

## 操作步骤 ##

1.初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”\[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞\]。

2.从U中选出”距离最短的顶点k”，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

3.更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

4.重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

## 图解 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
以上图为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。 (`提示：在下面所有图的最下面会有讲解`)

**初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！**

**第1步：将顶点D加入到S中。**  
此时，S=\{D(0)\},  
U=\{A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)\}。 `注:C(3)表示C到起点D的距离是3`。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
**第2步：将顶点C加入到S中。**  
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。  
此时，S=\{D(0),C(3)\},  
U=\{A(∞),B(13),E(4),F(9),G(∞)\}。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
**第3步：将顶点E加入到S中。**  
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4)\}, U=\{A(∞),B(13),F(6),G(12)\}。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
**第4步：将顶点F加入到S中。**  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6)\},  
U=\{A(22),B(13),G(12)\}。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
**第5步：将顶点G加入到S中。**  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)\}, U=\{A(22),B(13)\}。![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
**第6步：将顶点B加入到S中。**  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)\},  
U=\{A(22)\}。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
**第7步：将顶点A加入到S中。**  
此时，S=\{D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)\}。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQwMjQxOTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

## 代码 ##

邻接矩阵为例，

// 邻接矩阵
    typedef struct _graph
    { 
        char vexs[MAX];       // 顶点集合
        int vexnum;           // 顶点数
        int edgnum;           // 边数
        int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
    }Graph, *PGraph;
     
    // 边的结构体
    typedef struct _EdgeData
    { 
        char start; // 边的起点
        char end;   // 边的终点
        int weight; // 边的权重
    }EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。  
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组（**即邻接矩阵**）。  
例如，matrix\[i\]\[j\]=1，则表示”顶点i(即vexs\[i\])”和”顶点j(即vexs\[j\])”是邻接点；matrix\[i\]\[j\]=0，则表示它们不是邻接点。  
EData是邻接矩阵边对应的结构体。

## Dijkstra算法 ##

/* * Dijkstra最短路径。 * 即，统计图(G)中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。 * * 参数说明： * G -- 图 * vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。 * prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。 * dist（英文“distance”的缩写） -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。 */
    void dijkstra(Graph G, int vs, int prev[], int dist[])
    { 
        int i,j,k;
        int min;
        int tmp;
        int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
     
        // 初始化
        for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
        { 
            flag[i] = 0;              // 顶点i的最短路径还没获取到。
            prev[i] = 0;              // 顶点i的前驱顶点为0。
            dist[i] = G.matrix[vs][i];// 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
        }
     
        // 对"顶点vs"自身进行初始化
        flag[vs] = 1;
        dist[vs] = 0; //顶点vs到自身的距离肯定要为0啊
     
        // 遍历G.vexnum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
        for (i = 1; i < G.vexnum; i++)
        { 
            // 寻找当前最小的路径；
            // 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
            min = INF;// INF代表无穷的意思,只要设置一个你觉的输入永远不会达到的大数字就可以当无穷用了。
            for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
            {    //flag[j]==0 顶点j的最短路径还没获取到。
                if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
                { 
                    min = dist[j];
                    k = j;
                }
            }
            // 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
            flag[k] = 1;  //对应于把顶点k加入到S中，S是已计算出最短路径的顶点集合
     
            // 修正当前最短路径和前驱顶点
            // 即，当已经得到"顶点k的最短路径"之后，再来更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
            for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
            {   //下面这行代码对应着本文文首写的操作步骤的第3步。
                tmp = (G.matrix[k][j]==INF ? INF : (min + G.matrix[k][j])); // 防止溢出
                if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
                { 
                    dist[j] = tmp;
                    prev[j] = k;
                }
            }
        }
     
        // 打印dijkstra最短路径的结果
        printf("dijkstra(%c): \n", G.vexs[vs]);
        for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
            printf(" shortest(%c, %c)=%d\n", G.vexs[vs], G.vexs[i], dist[i]);
    }

本文转载自;https://blog.csdn.net/qq\_36313726/article/details/79294759

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