1的个数问题、数组最大最小值java---编程之美

迷南。 2022-09-25 04:26 147阅读 0赞

剑指offer原题：

给定一个十进制整数N，求出从1到N的所有整数中出现"1"的个数。

例如：N=2，1,2出现了1个"1"。

N=12，1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出现了5个"1"。

最直接的方法就是从1开始遍历到N，将其中每一个数中含有"1"的个数加起来，就得到了问题的解。

public static long CountOne3(long n)
    {
    	long i = 0,j = 1;
    	long count = 0;
    	for (i = 0; i <= n; i++)
    	{
    		j = i;
    		while (j != 0)
    		{
    			if (j % 10 == 1)
    				count++;
    			j = j / 10;
    		}
    	}
    	return count;
    }

此方法简单，容易理解，但它的问题是效率，时间复杂度为O（N \* lgN），N比较大的时候，需要耗费很长的时间。

我们重新分析下这个问题，对于任意一个个位数n，只要n>=1,它就包含一个"1"；n<1，即n=0时，则包含的"1"的个数为0。于是我们考虑用分治的思想将任意一个n位数不断缩小规模分解成许多个个位数，这样求解就很方便。

但是，我们该如何降低规模？仔细分析，我们会发现，任意一个n位数中"1"的个位可以分解为两个n-1位数中"1"的个数的和加上一个与最高位数相关的常数C。例如，f(12) = f(10 - 1) + f(12 - 10) + 3,其中3是表示最高位为1的数字个数，这里就是10,11,12；f(132)=f(100 -1) + f(132 - 100) + 33，33代表最高位为1的数字的个数，这里就是100~132；f(232) = 2\*f(100 - 1) + f(32) + 100，因为232大于199，所以它包括了所有最高位为1的数字即100~199，共100个。

综上，我们分析得出，最后加的常数C只跟最高位n1是否为1有关，当最高位为1时，常数C为原数字N去掉最高位后剩下的数字+1，当最高位为1时，常数C为10bit，其中bit为N的位数-1，如N=12时，bit=1，N=232时，bit=2。

于是，我们可以列出递归方程如下：

if(n1 == 1) 
    f(n) = f(10bit-1) + f(n - 10bit) + n - 10bit+ 1; 
    else 
    f(n) = n1*f(10bit-1) + f(n – n1*10bit) + 10bit;

递归的出口条件为：

if(1<n<10)  return 1;
    else if (n == 0) return 0;

基于此，编写如下代码：

public static long CountOne(long n)
    {  
    	long count = 0;
    	if (n == 0)
    		count = 0;
    	else if (n > 1 && n < 10)
    		count =  1;
    	else
    	{
    		long highest = n;//表示最高位的数字
    		int bit = 0;
    		while (highest >= 10)
    		{
    			highest = highest / 10;
    			bit++;
    		}
    		int weight = (int)Math.pow(10, bit);//代表最高位的权重，即最高位一个1代表的大小
    		if (highest == 1)
    		{
    			count = CountOne(weight - 1)
    			+ CountOne(n - weight)
    			+ n - weight + 1;
    		}
    		else
    		{
          		count = highest * CountOne(weight - 1)
        		+ CountOne(n - highest * weight)
            	+ weight;
    		}
    	}
    	return count;
    }

解法二告诉我们1~ N中"1"的个数跟最高位有关，那我们换个角度思考，给定一个N，我们分析1~N中的数在每一位上出现1的次数的和，看看每一位上"1"出现的个数的和由什么决定。

1位数的情况：在解法二中已经分析过，大于等于1的时候，有1个，小于1就没有。

2位数的情况：N=13,个位数出现的1的次数为2，分别为1和11，十位数出现1的次数为4，分别为10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。N=23,个位数出现的1的次数为3，分别为1，11，21，十位数出现1的次数为10，分别为10~19，f(N)=3+10。

由此我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数有关，和十位数也有关，如果个位数大于等于1，则个位数出现1的次数为十位数的数字加1；如果个位数为0，个位数出现1的次数等于十位数数字。而十位数上出现1的次数也不仅和十位数相关，也和个位数相关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1，假如十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。

3位数的情况：

N=123，**个位出现1**的个数为13:1,11,21，…，91,101,111,121。**十位出现1**的个数为20:10~19,110~119。**百位出现1**的个数为24:100~123。

我们可以继续分析4位数，5位数，推导出下面一般情况： 假设N，我们要计算百位上出现1的次数，将由三部分决定：百位上的数字，百位以上的数字，百位以下的数字。

如果百位上的数字为0，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12013，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个。等于更高位数字乘以当前位数，即12 \* 100。

如果百位上的数字大于1，则百位上出现1的次数仅由更高位决定，比如12213，百位出现1的情况为100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300个。等于更高位数字加1乘以当前位数，即（12 + 1）\*100。

如果百位上的数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。例如12113，受高位影响出现1的情况：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200个，但它还受低位影响，出现1的情况是12100~12113，共114个，等于低位数字113+1。

综合以上分析，写出如下代码：

public long CountOne2(long n)
    {
    	long count = 0;
    	long i = 1;
    	long current = 0,after = 0,before = 0;
    	while((n / i) != 0)
    	{           
    		current = (n / i) % 10;
    		before = n / (i * 10);
    		after = n - (n / i) * i;
    		if (current > 1)//百位上的数字大于1
    			count = count + (before + 1) * i;
    		else if (current == 0)//百位上的数字为0
    			count = count + before * i;
    		else if(current == 1)//百位上的数字为1
    			count = count + before * i + after + 1;
    		i = i * 10;
    	}
    	return count;
    }

此算法的时间复杂度仅为O(lgN)，且没有递归保存现场的消耗和堆栈溢出的问题。

**注：字符串解法会时间很长**

public class NumOf1 {
    	public static void main(String[] args) {
    		int m = 1000000;
    		String all = "";
    		int al = 0;
    		for (int i = 0; i <= m; i++) {
    			all = all + "" + i;
    		}
    		for (int j = 0; j < all.length(); j++) {
    			if (all.charAt(j) == '1') {
    				al++;
    			}
    		}
    		System.out.println(al);
    		
    		
    	}

附录：数组最大最小值，基本解法和分治法

package Test;
    
    /**
     *
     * 寻找数组中的最大值和最小值
     */public class SearchArrayMaxMin {
        public static void main(String[] args) {
            int[] arry = new int[]{5,6,8,3,7,9};
            //解法一 分别寻找最大值和最小值
            int[] num1 = searchArrayMaxMin1(arry);
            System.out.println("min:"+num1[0]+"max:"+num1[1]);
            
            //解法四  分治策略
            int[] num4 = searchArrayMaxMin(arry,0,arry.length-1);
            System.out.println("min:"+num4[0]+"max:"+num4[1]);
        }
    
        private static int[] searchArrayMaxMin1(int[] arry) {
           int[] result = new int[2];
           int min = arry[0];
           int max = arry[0];
           for(int i =1;i<arry.length;i++){
               if(arry[i]<min)
                   min =arry[i];
               else
                   max =arry[i];
           }
           result[0]= min;
           result[1]=max;
           return result;
        }
    
        private static int[] searchArrayMaxMin(int[] arry, int begin, int end) {
            int[] result = new int[2];
            if(end-begin <=1){
                if(arry[begin]<arry[end]){
                    result[0]=arry[begin];
                    result[1]= arry[end];
                    return result;
                }else{
                    result[0] = arry[end];
                    result[1] = arry[begin];
                    return result;
                }
            }
            int mid = (begin+end)/2;
            int[] result_left = searchArrayMaxMin(arry,begin,mid);
            int[] result_right =searchArrayMaxMin(arry,mid+1,end);
            if(result_left[0]<result_right[0])
                result[0]= result_left[0];
            else
                result[0]=result_right[0];
            if(result_left[1]>result_right[1])
                result[1]= result_left[1];
            else
                result[1]=result_right[1];
            return result;
        }
    }