力扣刷题记录（七）动态规划（一）基础题目

电玩女神 2022-10-06 10:56 232阅读 0赞

1.基础知识  
① dp定义  
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。  
所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。  
例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight\[i\]，得到的价值是value\[i\] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中dp\[j\]是由dp\[j-weight\[i\]\]推导出来的，然后取max(dp\[j\], dp\[j - weight\[i\]\] + value\[i\])。

但如果是贪心呢，每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。

所以贪心解决不了动态规划的问题。

② dp解题5步骤  
（1）.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
（2）.确定递推公式  
（3）.dp数组如何初始化  
（4）.确定遍历顺序  
（5）.举例推导dp数组  
一些同学可能想为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？

因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！

③ 如何debug  
找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！  
做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。

① 题目509. 斐波那契数  
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。

示例 1： 输入：2 输出：1 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2： 输入：3 输出：2 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3： 输入：4 输出：3 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3 提示：

0 <= n <= 30

解析：  
动规五部曲：  
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[i\]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp\[i\]

2.确定递推公式  
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp\[i\] = dp\[i - 1\] + dp\[i - 2\];

3.dp数组如何初始化  
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：  
![在这里插入图片描述][2021061307452818.png]  
4.确定遍历顺序  
从递归公式dp\[i\] = dp\[i - 1\] + dp\[i - 2\];中可以看出，dp\[i\]是依赖 dp\[i - 1\] 和 dp\[i - 2\]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5.举例推导dp数组  
按照这个递推公式dp\[i\] = dp\[i - 1\] + dp\[i - 2\]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
![在这里插入图片描述][20210613094246429.png]  
② 题号70. 爬楼梯  
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶  
2 阶  
示例 2： 输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶  
1 阶 + 2 阶  
2 阶 + 1 阶

解析：  
我们来分析一下，动规五部曲：

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

1.确定dp数组以及下标的含义  
dp\[i\]： 爬到第i层楼梯，有dp\[i\]种方法  
2.确定递推公式  
如何可以推出dp\[i\]呢？  
从dp\[i\]的定义可以看出，dp\[i\] 可以有两个方向推出来。  
首先是dp\[i - 1\]，上i-1层楼梯，有dp\[i - 1\]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp\[i\]了么。  
还有就是dp\[i - 2\]，上i-2层楼梯，有dp\[i - 2\]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp\[i\]了么。  
那么dp\[i\]就是 dp\[i - 1\]与dp\[i - 2\]之和！  
所以dp\[i\] = dp\[i - 1\] + dp\[i - 2\] 。  
在推导dp\[i\]的时候，一定要时刻想着dp\[i\]的定义，否则容易跑偏。  
这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！  
3.dp数组如何初始化  
不考虑dp\[0\]如果初始化，只初始化dp\[1\] = 1，dp\[2\] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp\[i\]的定义。  
4.确定遍历顺序  
从递推公式dp\[i\] = dp\[i - 1\] + dp\[i - 2\];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的  
5.举例推导dp数组  
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
![在这里插入图片描述][2021061314093950.png]  
③ 题号746. 使用最小花费爬楼梯  
数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost\[i\]（下标从 0 开始）。

每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。

请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。  
示例 1：

输入：cost = \[10, 15, 20\] 输出：15 解释：最低花费是从 cost\[1\] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。 示例 2：

输入：cost = \[1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1\] 输出：6 解释：最低花费方式是从 cost\[0\] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost\[3\] ，一共花费 6 。

提示：

cost 的长度范围是 \[2, 1000\]。  
cost\[i\] 将会是一个整型数据，范围为 \[0, 999\] 。  
解析：  
1.确定dp数组以及下标的含义  
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp\[i\]就可以了。  
dp\[i\]的定义：到达第i个台阶所花费的最少体力为dp\[i\]。（注意这里认为是第一步一定是要花费）  
2.确定递推公式  
可以有两个途径得到dp\[i\]，一个是dp\[i-1\] 一个是dp\[i-2\]。  
那么究竟是选dp\[i-1\]还是dp\[i-2\]呢？  
一定是选最小的，所以dp\[i\] = min(dp\[i - 1\], dp\[i - 2\]) + cost\[i\];  
注意这里为什么是加cost\[i\]，而不是cost\[i-1\],cost\[i-2\]之类的，因为题目中说了：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值。  
3.dp数组如何初始化  
根据dp数组的定义，dp数组初始化其实是比较难的，因为不可能初始化为第i台阶所花费的最少体力。  
那么看一下递归公式，dp\[i\]由dp\[i-1\]，dp\[i-2\]推出，既然初始化所有的dp\[i\]是不可能的，那么只初始化dp\[0\]和dp\[1\]就够了，其他的最终都是dp\[0\]dp\[1\]推出。  
所以初始化代码为：  
![在这里插入图片描述][20210613145916755.png]  
4.确定遍历顺序  
最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？  
本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。  
因为是模拟台阶，而且dp\[i\]又dp\[i-1\]dp\[i-2\]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。  
但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。  
5.举例推导dp数组  
拿示例2：cost = \[1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1\] ，来模拟一下dp数组的状态变化.

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
![在这里插入图片描述][20210613152801323.png]  
④ 题号62.不同路径  
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
解析：  
机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。  
按照动规五部曲来分析：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]\[j\] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp\[i\]\[j\]条不同的路径。  
2.确定递推公式  
想要求dp\[i\]\[j\]，只能有两个方向来推导出来，即dp\[i - 1\]\[j\] 和 dp\[i\]\[j - 1\]。  
此时在回顾一下 dp\[i - 1\]\[j\] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp\[i\]\[j - 1\]同理。  
那么很自然，dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j\] + dp\[i\]\[j - 1\]，因为dp\[i\]\[j\]只有这两个方向过来。  
3.dp数组的初始化  
如何初始化呢，首先dp\[i\]\[0\]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp\[0\]\[j\]也同理。  
所以初始化代码为：  
![在这里插入图片描述][20210613173432207.png]  
4.确定遍历顺序  
这里要看一下递归公式dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j\] + dp\[i\]\[j - 1\]，dp\[i\]\[j\]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。  
这样就可以保证推导dp\[i\]\[j\]的时候，dp\[i - 1\]\[j\] 和 dp\[i\]\[j - 1\]一定是有数值的。  
5.举例推导dp数组  
如图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
![在这里插入图片描述][2021061318111215.png]  
⑤ 题号63. 不同路径 II  
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
解析：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]\[j\] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp\[i\]\[j\]条不同的路径。

2.确定递推公式  
递推公式和62.不同路径一样，dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j\] + dp\[i\]\[j - 1\]。

但这里需要注意一点，因为有了障碍，(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）。

所以代码为：  
![在这里插入图片描述][20210613184755990.png]  
3.dp数组如何初始化  
![在这里插入图片描述][20210613185358506.png]  
注意代码里for循环的终止条件，一旦遇到obstacleGrid\[i\]\[0\] == 1的情况就停止dp\[i\]\[0\]的赋值1的操作，dp\[0\]\[j\]同理  
4.确定遍历顺序  
从递归公式dp\[i\]\[j\] = dp\[i - 1\]\[j\] + dp\[i\]\[j - 1\] 中可以看出，一定是从左到右一层一层遍历，这样保证推导dp\[i\]\[j\]的时候，dp\[i - 1\]\[j\] 和 dp\[i\]\[j - 1\]一定是有数值。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
5.举例推导dp数组  
拿示例1来举例如题：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
![在这里插入图片描述][20210613192518922.png]  
⑥ 题号343. 整数拆分  
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

解析：  
动规五部曲，分析如下：  
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义  
dp\[i\]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp\[i\]。  
2.确定递推公式  
可以想 dp\[i\]最大乘积是怎么得到的呢？  
其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp\[i\].  
一个是j \* (i - j) 直接相乘。  
一个是j \* dp\[i - j\]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。  
所以递推公式：dp\[i\] = max(\{dp\[i\], (i - j) \* j, dp\[i - j\] \* j\});  
3.dp的初始化  
这里我只初始化dp\[2\] = 1，从dp\[i\]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！  
4.确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp\[i\] = max(dp\[i\], max((i - j) \* j, dp\[i - j\] \* j));  
dp\[i\] 是依靠 dp\[i - j\]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp\[i - j\]再有dp\[i\]。  
枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp\[i - j\]就是dp\[2\]正好可以通过我们初始化的数值求出来。  
所以遍历顺序为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]  
5.举例推导dp数组  
举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
![在这里插入图片描述][20210613223403963.png]  
⑦ 题号96.不同的二叉搜索树  
给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
答：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
![在这里插入图片描述][20210613230453395.png]

[2021061307452818.png]: /images/20221005/79672e4128a04376954a64661e67568c.png
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