弗洛伊德算法

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2022-10-22 02:46 112阅读 0赞

# 一：弗洛伊德(Floyd)算法介绍 #

1) 和 Dijkstra 算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978 年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名
    2) 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
    3) 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
    4) 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点
    的最短路径；弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看做被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。

# 二：弗洛伊德(Floyd)算法图解分析 #

1) 设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik，顶点 vk 到 vj 的最短路径已知为 Lkj，顶点 vi 到 vj 的路径为 Lij，则 vi 到 vj 的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得 vi 到 vj 的最短路径
    2) 至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路径 Lkj，是以同样的方式获得

弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

弗洛伊德算法的步骤：

第一轮循环中，以 A(下标为：0)作为中间顶点【即把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历, 就会得到更新距离表 和 前驱关系】， 距离表和前驱关系更新为：

C-A-B、C-A-G、G-A-B （12，9，7）

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

分析如下：

1) 以 A 顶点作为中间顶点是，B->A->C 的距离由 N->9，同理 C 到 B；C->A->G 的距离由 N->12，同理 G到 C
    2) 更换中间顶点，循环执行操作，直到所有顶点都作为中间顶点更新后，计算结束

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM3NDY5MDU1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]

代码实现：

Graph实体类：

package com.floyd;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /**
     * @author lizhangyu
     * @date 2021/4/4 19:45
     */
    public class Graph {
    
        /**
         * 存放顶点的数组
         */
        private char[] vertex;
    
        /**
         * 保存，从各个顶点出发到其他顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
         */
        private int[][] dis;
    
        /**
         * 保存到达目标顶点的前驱顶点
         */
        private int[][] pre;
    
        /**
         * 构造器
         * @param length 大小
         * @param matrix 邻接矩阵
         * @param vertex 顶点数组
         */
        public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {
            this.vertex = vertex;
            this.dis = matrix;
            this.pre = new int[length][length];
            // 对 pre 数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标
            for (int i = 0; i < length; i++) {
                Arrays.fill(pre[i], i);
            }
        }
    
        /**
         * 显示pre数组和dis数组
         */
        public void show() {
    
            char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
    
            for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
    
                // 输出 pre 数组的一行
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    System.out.print(vertex[pre[k][i]] + "");
                }
    
                System.out.println();
    
                // 输出 dis 数组的一行
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    System.out.print("("+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
                }
    
                System.out.println();
                System.out.println();
            }
        }
    
        /**
         * 弗洛伊德算法
         */
        public void floyd() {
            //变量保存距离
            int len = 0;
            //对中间顶点遍历，K就是中间顶点的下标[A, B, C, D, E, F, G]
            for (int k = 0; k < dis.length; k++) {
                //从 i 顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G]
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
                    //到达 j 顶点 // [A, B, C, D, E, F, G]
                    for (int j = 0; j < dis.length; j++) {
                        // => 求出从 i 顶点出发，经过 k 中间顶点，到达 j 顶点距离
                        len = dis[i][k] + dis[k][j];
                        if (len < dis[i][j]) {
                            //更新距离
                            dis[i][j] = len;
                            //更新距离
                            pre[i][j] = pre[k][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

FloydAlgorithm实体类：

package com.floyd;
    
    /**
     * @author lizhangyu
     * @date 2021/4/4 12:28
     */
    public class FloydAlgorithm {
    
        public static void main(String[] args) {
            // 测试看看图是否创建成功
            char[] vertex = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
            //创建邻接矩阵
            int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
            final int N = 65535;
            matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };
            matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };
            matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };
            matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };
            matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
            matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
            matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };
            //创建 Graph 对象
            Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
            //调用弗洛伊德算法
            graph.floyd();
    
            //显示
            graph.show();
        }
    
    }

运行结果：

AAAFGGA
    (A到A的最短路径是0) (A到B的最短路径是5) (A到C的最短路径是7) (A到D的最短路径是12) (A到E的最短路径是6) (A到F的最短路径是8) (A到G的最短路径是2) 
    
    BBABGGB
    (B到A的最短路径是5) (B到B的最短路径是0) (B到C的最短路径是12) (B到D的最短路径是9) (B到E的最短路径是7) (B到F的最短路径是9) (B到G的最短路径是3) 
    
    CACFCEA
    (C到A的最短路径是7) (C到B的最短路径是12) (C到C的最短路径是0) (C到D的最短路径是17) (C到E的最短路径是8) (C到F的最短路径是13) (C到G的最短路径是9) 
    
    GDEDFDF
    (D到A的最短路径是12) (D到B的最短路径是9) (D到C的最短路径是17) (D到D的最短路径是0) (D到E的最短路径是9) (D到F的最短路径是4) (D到G的最短路径是10) 
    
    GGEFEEE
    (E到A的最短路径是6) (E到B的最短路径是7) (E到C的最短路径是8) (E到D的最短路径是9) (E到E的最短路径是0) (E到F的最短路径是5) (E到G的最短路径是4) 
    
    GGEFFFF
    (F到A的最短路径是8) (F到B的最短路径是9) (F到C的最短路径是13) (F到D的最短路径是4) (F到E的最短路径是5) (F到F的最短路径是0) (F到G的最短路径是6) 
    
    GGAFGGG
    (G到A的最短路径是2) (G到B的最短路径是3) (G到C的最短路径是9) (G到D的最短路径是10) (G到E的最短路径是4) (G到F的最短路径是6) (G到G的最短路径是0)

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