【随机过程】作业 4 矩量母函数

红太狼 2022-11-16 15:20 259阅读 0赞

[矩量母函数相关知识][Link 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
**1. 计算参数为n，p的二项分布的矩量母函数，若n=3,p=1/3,则二项分布的矩量母函数在1处的值为多少？**  
解：  
根据以上表知，二项分布的矩量母函数为 M ( t ) = ( p e t + 1 − p ) n M(t) = (pe^t+1-p)^n M(t)=(pet\+1−p)n  
带入n=3,p=1/3,t=1  
所以 M ( 1 ) = ( 1 / 3 e + 1 − 1 / 3 ) 3 = 1 / 27 ( e + 2 ) 3 M(1) = (1/3e+1-1/3)^3 =1/27(e+2)^3 M(1)=(1/3e\+1−1/3)3=1/27(e\+2)3  
**2. 正态分布N（1,4）的矩量母函数在1处的值为多少？**  
根据以上表知，正态分布的矩量母函数为 M ( t ) = e u t + σ 2 t 2 / 2 M(t) = e^\{ut+\\sigma ^2 t^2/2\} M(t)=eut\+σ2t2/2  
带入 u = 1 , σ 2 = 4 , t = 1 u=1,\\sigma^2 = 4,t = 1 u=1,σ2=4,t=1  
所以 M ( 1 ) = e 1 + 4 / 2 = e 3 M(1) = e^\{1+4/2\} = e^3 M(1)=e1\+4/2=e3  
**3. 利用标准正太分布x~N(0,1)的矩量母函数，计算得 E ( X 6 ) E(X^6) E(X6)**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center_pic_center]  
由资料可知， E X n EX^n EXn结果为矩母函数求n阶导后，代入t=0  
根据以上表知道标准正态分布的矩母函数为  
 M ( t ) = e t 2 / 2 M(t) = e^\{ t^2/2\} M(t)=et2/2  
对M(t)求6次导数，代入t=0  
求导过程省略  
得到 E X 6 = M ( t = 0 ) ( 6 ) = 15 EX^6 =M(t=0)^\{(6)\}=15 EX6=M(t=0)(6)=15

[Link 1]: http://xiang-chen.github.io/2015/07/13/%E7%9F%A9%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0/
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