【随机过程】作业 5 布朗Brown运动

朱雀 2022-11-16 15:20 808阅读 0赞

**1. 设 \{ B ( t ) , 0 ≤ t \} \\\{B(t),0 \\leq t\\\} \{ B(t),0≤t\}为标准的布朗运动，求 Σ k = 1 30 B ( k ) 的 分 布 \\Sigma\_\{k=1\}^\{30\}B(k)的分布 Σk=130B(k)的分布**

*  求所求分布的期望
 *  求所求分布的方差
 *  求所求分布的类型为什么分布  
    解：

> ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

**2. 设 \{ W ( t ) , 0 ≤ t \} \\\{W(t),0 \\leq t\\\} \{ W(t),0≤t\}为标准布朗运动，随机变量R~N(0,6)与随机过程 \{ W ( t ) , 0 ≤ t \} \\\{W(t),0 \\leq t\\\} \{ W(t),0≤t\}独立，定义随机过程 X ( t ) = W ( t ) + R , t > 0 X(t) = W(t)+R,t>0 X(t)=W(t)\+R,t>0**

*  求随机过程\{X(t),t>0\}的协方差，及X(3)与X(5)的协方差
 *  求随机过程\{X(t),t>0\}的特征函数，及X(6)在6处的特征函数值
 *  求X(5)和R的相关系数

> （1）因为W(t)服从正态分布N(0,t),R服从正态分布N(0,6)  
> 所以X(t) = W(t)+R也服从正态分布N(0,t+6)  
> 当s<t时  
>  c o v ( s , t ) = E ( X ( s ) X ( t ) ) = E ( W ( s ) + R ) ( W ( t ) + R ) = E ( W ( s ) W ( t ) + R 2 ) cov(s,t) = E(X(s)X(t)) = E(W(s)+R)(W(t)+R) = E(W(s)W(t)+R^2) cov(s,t)=E(X(s)X(t))=E(W(s)\+R)(W(t)\+R)=E(W(s)W(t)\+R2)  
>  = E ( W ( s ) ( W ( t ) − W ( s ) + W ( s ) ) ) + 6 = E ( W ( s ) 2 ) + 6 = s + 6 = E(W(s)(W(t)-W(s)+W(s)))+6= E(W(s)^2)+6 = s+6 =E(W(s)(W(t)−W(s)\+W(s)))\+6=E(W(s)2)\+6=s\+6  
> 所cov(3,5) = 3+6 =9

> （2）因为X(t)也服从正态分布N(0,t+6)，根据正态分布的特征函数公式知道  
>  g ( t ) = e i u t − 1 σ 2 t 2 2 g(t) = e^\{iut-\\frac\{1 \\sigma ^2 t^2\}\{2\}\} g(t)=eiut−21σ2t2  
>  g ( 6 ) = e − ( t 2 + 6 t ) 2 2 g(6) =e^\{-\\frac\{(t^2+6t)^2 \}\{2\}\} g(6)=e−2(t2\+6t)2  
> 当t=6  
>  g ( 6 ) = e − ( 72 ) 2 2 g(6) =e^\{-\\frac\{(72)^2 \}\{2\}\} g(6)=e−2(72)2

> （3）因为W(t)服从正态分布N(0,t),R服从正态分布N(0,6)  
> 根据相关系数公式  
>  ρ X R = C o v ( X s , R ) D X s D R \\rho\_\{XR\} =\\frac\{Cov(X\_s,R)\}\{\\sqrt\{DX\_s\} \\sqrt\{DR\}\} ρXR=DXsDRCov(Xs,R)  
> 其中 C o v ( X s , R ) = E X R − E X s E R = E X R = E ( ( W ( t ) + R ) R ) = E ( W R + R 2 ) = E R 2 Cov(X\_s,R) = E\_\{XR\} -EX\_sER = EXR =E((W(t)+R)R)=E(WR+R^2) =ER^2 Cov(Xs,R)=EXR−EXsER=EXR=E((W(t)\+R)R)=E(WR\+R2)=ER2  
> 所以当求 X 5 X\_5 X5和R的相关系数， D X 5 = 5 + 6 = 11 , D R = 6 ， C o v ( X 5 , R ) = 6 DX\_5 = 5+6=11,DR = 6，Cov(X\_5,R) =6 DX5=5\+6=11,DR=6，Cov(X5,R)=6  
>  ρ X R = C o v ( X s , R ) D X s D R = 6 11 6 \\rho\_\{XR\} =\\frac\{Cov(X\_s,R)\}\{\\sqrt\{DX\_s\} \\sqrt\{DR\}\} = \\frac\{6\}\{\\sqrt\{11\} \\sqrt\{6\}\} ρXR=DXsDRCov(Xs,R)=1166

**3. 设 \{ W ( t ) , 0 ≤ t \} \\\{W(t),0 \\leq t\\\} \{ W(t),0≤t\}为标准布朗运动，定义随机过程 X ( t ) = t + W 3 t , 0 ≤ t X(t) = t+W\_\{3t\},0 \\leq t X(t)=t\+W3t,0≤t**

*  计算 x 10 , X 40 x\_\{10\},X\_\{40\} x10,X40的相关系数
 *  设标准正态分布的分布函数为 ϕ ( x ) \\phi(x) ϕ(x)，且 ϕ ( 1 ) = 0.841 , ϕ ( 2 ) = 0.977 \\phi(1) = 0.841,\\phi (2)=0.977 ϕ(1)=0.841,ϕ(2)=0.977，计算 X 12 X\_\{12\} X12小鱼等于24的概率。
 *  给出 X 20 X\_\{20\} X20的特征函数，且在1/20处的值等于多少？

> （1）因为W(t)服从标准正态分布N（0,1）， W ( 3 t ) W(3t) W(3t)服从正态分布N（0,3t）  
> 又 X = t + W 3 t X =t+W\_3t X=t\+W3t  
> 则X服从正态分布N（t,3t）  
> 根据相关系数公式 ρ X 10 X 40 = C o v ( X 10 , X 40 ) D X 10 D X 40 \\rho\_\{X\_\{10\}X\_\{40\}\} =\\frac\{Cov(X\_\{10\},X\_\{40\})\}\{\\sqrt\{DX\_\{10\}\} \\sqrt\{DX\_\{40\}\}\} ρX10X40=DX10DX40Cov(X10,X40)  
> 其中但 s < t 时 ， C o v ( X s X t ) = E X s X t − E X s E t = E ( s t + W 3 s W 3 t ) − s t = W ( W 3 s W 3 t ) = E ( W 3 s ( W 3 t − W 3 s + W 3 s ) ) = E W 3 s 2 = 3 s s<t时，Cov(X\_\{s\}X\_\{t\}) = EX\_sX\_t - EX\_sE\_t =E(st +W\_\{3s\}W\_\{3t\})-st = W(W\_\{3s\}W\_\{3t\}) =E(W\_\{3s\}(W\_\{3t\}-W\_\{3s\}+W\_\{3s\})) =EW\_\{3s\}^2 =3s s<t时，Cov(XsXt)=EXsXt−EXsEt=E(st\+W3sW3t)−st=W(W3sW3t)=E(W3s(W3t−W3s\+W3s))=EW3s2=3s  
> 则 C o v ( X 10 X 40 ) = 3 ∗ 10 = 30 Cov(X\_\{10\}X\_\{40\}) =3\*10=30 Cov(X10X40)=3∗10=30  
>  D X 1 0 = 3 ∗ 10 = 30 ， D X 4 0 = 3 ∗ 40 = 120 D\_\{X\_10\} =3\*10=30，D\_\{X\_40\} =3\*40 = 120 DX10=3∗10=30，DX40=3∗40=120  
>  ρ X 10 X 40 = 30 30 120 \\rho\_\{X\_\{10\}X\_\{40\}\} =\\frac\{30\}\{\\sqrt\{30\} \\sqrt\{120\}\} ρX10X40=3012030

> （2）因为 X 12 = 12 + W 36 ∼ N （ 12 , 36 ） X\_\{12\} =12+W\_\{36\} \\sim N（12,36） X12=12\+W36∼N（12,36）化为标准正态分布 Y = X 12 − 12 6 ∼ N ( 0 , 1 ) Y = \\frac\{X\_\{12\} -12\}\{6\} \\sim N(0,1) Y=6X12−12∼N(0,1)  
>  p ( X 12 ⩽ 24 ) = p ( X 12 − 12 6 ⩽ 24 − 12 6 ) = p ( Y ⩽ 2 ) = Φ ( 2 ) = 0.977 p(X\_\{12\} \\leqslant 24) = p(\\frac\{X\_\{12\} -12\}\{6\} \\leqslant \\frac\{24-12\}\{6\}) = p(Y \\leqslant 2 ) = \\Phi(2) = 0.977 p(X12⩽24)=p(6X12−12⩽624−12)=p(Y⩽2)=Φ(2)=0.977

> （3）因为 X t ∼ ( t , 3 t ) ， X 10 ∼ ( 10 , 30 ) ， X 40 ∼ ( 40 , 120 ) X\_t \\sim (t,3t)，X\_\{10\} \\sim (10,30)，X\_\{40\} \\sim (40,120) Xt∼(t,3t)，X10∼(10,30)，X40∼(40,120)  
> 所以根据正态分布的概率密度公式 f x = 1 2 π σ e − ( x − u ) 2 2 σ 2 fx = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\} \\sigma \}e^\{-\\frac\{(x-u)^2\}\{2\\sigma^2\}\} fx=2πσ1e−2σ2(x−u)2  
>  f X 10 X 40 = 1 2 π 30 ∗ 120 e − ( x − 10 ) 2 60 − ( x − 40 ) 2 240 f\_\{X\_\{10\}X\_\{40\}\} = \\frac\{1\}\{2 \\pi \\sqrt\{30\*120\}\}e^\{-\\frac\{(x-10)^2\}\{60\}-\\frac\{(x-40)^2\}\{240\}\} fX10X40=2π30∗1201e−60(x−10)2−240(x−40)2

> （4）因为 X 20 ∼ N ( 20 , 60 ) X\_\{20\}\\sim N(20,60) X20∼N(20,60)  
> 根据正态分布的特征函数公式  
>  g ( t ) = e i u t − σ 2 t 2 2 g(t) = e^\{iut - \\frac\{\\sigma^2 t^2\}\{2\}\} g(t)=eiut−2σ2t2  
> 得到 X 20 的 特 征 函 数 为 g ( t ) = e 20 i t − 30 t 2 X\_\{20\}的特征函数为g(t) = e^\{20it - 30 t^2\} X20的特征函数为g(t)=e20it−30t2

1.  设 \{ B ( t ) , 0 ≤ t \} \\\{ B(t),0 \\leq t\\\} \{ B(t),0≤t\}为标准布朗运动

*  求B(4),B(5)的联合概率密度函数
 *  求B(4)+B(5)的分布
 *  设x为任意实数，求B(4)=x的条件下B(5)的条件密度函数 g x ( y ) = f B ( 5 ) ∣ \[ B ( 4 ) = x \] ( y ) g\_x(y) = f\_\{B(5)|\[B(4)=x\]\}(y) gx(y)=fB(5)∣\[B(4)=x\](y)，且当x=y=1时，条件概率密度等于多少？

> 第三问不会  
> ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzkzNTY5Ng_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

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