matlab实现数值积分【二】（integral函数）

客官°小女子只卖身不卖艺 2022-11-25 13:28 388阅读 0赞

如果被积函数的数学表达式**已知**，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。

### 目录 ###

*   *   *  函数调用格式
         *  应用举例
         *   *  例1：求解数值解并检验其精度
             *  例2：分段函数积分
             *  例3：与梯形法比较
             *  例4：大范围积分
             *  例5：广义积分的数值计算
             *  例6：含参函数数值积分

### 函数调用格式 ###

![函数调用格式][20200809201121515.png]

### 应用举例 ###

#### 例1：求解数值解并检验其精度 ####

计算积分 f ( x ) = 2 π ∫ 0 1.5 e − t 2 d t f(x)=\\frac\{2\}\{\\sqrt\{\\pi\}\} \\int\_0^\{1.5\} \{e^\{-t^2\} \{\\rm d\} t\} f(x)=π2∫01.5e−t2dt

f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
    y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解

结果为  y = y= y=`0.96610514647531`

> 求解解析解：  
> `syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)`  
> 结果为： y 0 = y\_0= y0=`0.96610514647531`

> 结论：可以看出，默认选项下数值解函数`integral()`便可保证高精度的数值解。

#### 例2：分段函数积分 ####

给定如下分段函数： 
 f ( x ) = \{ e x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 80 4 − sin ⁡ ( 16 π x ) , 2 < x ≤ 4 f(x)= \\begin\{cases\} e^\{x^2\} , & 0 \\leq x \\leq 2 \\\\ \\frac\{80\}\{4 - \\sin(16\\pi x)\} , & 2 < x \\leq 4 \\\\ \\end\{cases\} f(x)=\{ ex2,4−sin(16πx)80,0≤x≤22<x≤4 
计算积分值 I = ∫ 0 4 f ( x ) d x I=\\int\_\{0\}^\{4\} f(x) \{\\rm d\} x I=∫04f(x)dx。

*  绘制 f ( x ) f(x) f(x)填充图

x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4]; 
 y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2); 
 x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图

![f(x)填充图][f_x]

*  求解与验证

f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2); 
 I1 = integral(f,0,4) %//数值解
 I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20) %//提高精度
 syms x
 f = piecewise( x<=2, exp(x^2), x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) ); 
 I0 = vpa(int(f,x,0,4)) %//解析解

结果为：

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>变量</th> 
 <th>值</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> I 0 I_0 I0（精确解析解）</td> 
 <td>57.76445012505301 033331523538518</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> I 1 I_1 I1（正常数值解）</td> 
 <td>57.7644501250 4850495815844624303</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> I 2 I_2 I2（高精度数值解）</td> 
 <td>57.76445012505301 690453052287921</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

#### 例3：与梯形法比较 ####

重新计算积分  
 ∫ 0 3 π 2 cos ⁡ ( 15 x ) d x \\int\_\{0\}^\{\\frac\{3\\pi\}\{2\}\} \\cos (15x) \{\\rm d\} x ∫023πcos(15x)dx

*  [梯形法求解链接][Link 1]
 *  数值求解：

f = @(x) cos(15*x); 
    S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)

> 结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。

#### 例4：大范围积分 ####

计算积分 ∫ 0 100 cos ⁡ ( 15 x ) d x \\int\_\{0\}^\{100\} \\cos (15x) \{\\rm d\} x ∫0100cos(15x)dx

f = @(x)cos(15*x); 
    I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
    syms x 
    I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解

解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306 I\_0= -0.066260130460443564274928241303306 I0=−0.066260130460443564274928241303306  
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066 I\_1= -0.066260130460282923303694246897066 I1=−0.066260130460282923303694246897066

#### 例5：广义积分的数值计算 ####

计算 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x \\int\_\{0\}^\{\\infty\} e^\{-x^2\} \{\\rm d\} x ∫0∞e−x2dx

f = @(x) exp(-x.^2); 
    I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
    syms x
    I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解

解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057 I\_0= 0.88622692545275801364908374167057 I0=0.88622692545275801364908374167057  
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957 I\_1= 0.88622692545275805198201624079957 I1=0.88622692545275805198201624079957

#### 例6：含参函数数值积分 ####

绘制积分函数 I ( α ) I(\\alpha) I(α)曲线 I ( α ) = ∫ 0 ∞ e − α x 2 sin ⁡ ( α x 2 ) d x I(\\alpha) = \\int\_\{0\}^\{\\infty\} e^\{-\\alpha x^2\} \\sin (\\alpha x^2) \{\\rm d\} x I(α)=∫0∞e−αx2sin(αx2)dx

a = 0:0.1:4;
    f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
    I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
    plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')

![含参函数数值积分][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk2NDk5Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]

[20200809201121515.png]: /images/20221124/3d4d3b9756ae4a4eb21b8226f7523a90.png
[f_x]: /images/20221124/77e49fa119ee41598a549c54f11897f9.png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_43964993/article/details/107887780#2_25
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