【Advanced控制理论】Robust Control鲁棒控制（附Simulink程序）

不念不忘少年蓝@ 2022-11-29 13:05 202阅读 0赞

之前*BLOG*中系统参数为已知或者一变化的常数，若条件更加苛刻，系统参数为有界的常数，此时该如何设计控制器，由此引入鲁棒控制。直接放上DR\_CAN视频链接：**https://www.bilibili.com/video/BV1vW411V7Bh/?spm\_id\_from=trigger\_reload**

在维基百科中是这样解释鲁棒控制的：*To achieve robust performance and/or stability in presence of bounded modeling error*。直译就是在存在有界模型误差的情况下实现强大的性能和/或稳定性。

鲁棒控制器包括三种，接下来介绍这三种控制器并进行比较：

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>Controller</th> 
 <th>Sliding Mode（滑模控制）</th> 
 <th>High Gain（高增益）</th> 
 <th>High Frequency（高频）</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td> U a u x U_{aux} Uaux辅助控制器</td> 
 <td> ρ e ∣ e ∣ \rho\frac{e}{\left\vert e\right\vert} ρ∣e∣e</td> 
 <td> 1 ε ρ 2 e \frac{1}{\varepsilon}\rho^2e ε1ρ2e</td> 
 <td> ρ 2 e ρ ∣ e ∣ + ε \frac{\rho^2e}{\rho\left\vert e\right\vert+\varepsilon} ρ∣e∣+ερ2e</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>当 t → ∞ t\to\infty t→∞时</td> 
 <td> e → 0 e\to 0 e→0</td> 
 <td> e ≤ ε k e\leq\sqrt{\frac{\varepsilon}{k}} e≤kε </td> 
 <td> e ≤ ε k e\leq\sqrt{\frac{\varepsilon}{k}} e≤kε </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

若减小 ε \\varepsilon ε的值， e e e的值将减小，但 u u u会随之增大，即： ε ↓ ， e ↓ ， u ↑ 。 \\varepsilon\\downarrow，e\\downarrow，u\\uparrow。 ε↓，e↓，u↑。

假设有这样一个模型： x ˙ = a x 2 + u \\dot\{x\}=ax^2+u x˙=ax2\+u

其中 ∣ a ∣ ≤ 1 \\left|a\\right|\\le1 ∣a∣≤1，即 a a a为一有界的随机常数。设计目标是使得 x → x d = 2 x\\to x\_d=2 x→xd=2，即 x ˙ d = 0 \\dot\{x\}\_d=0 x˙d=0。

令： f ( x ) = a x 2 ≤ ∣ a x ∣ 2 ≤ x 2 < x 2 + 0.1 = ρ ( x ) f(x)=ax^2\\le\\left|ax\\right|^2\\le x^2<x^2+0.1=\\rho(x) f(x)=ax2≤∣ax∣2≤x2<x2\+0.1=ρ(x)

令（ u u u为何这样设置的具体证明在这里：**https://www.bilibili.com/video/BV1KW411j7VS**）： u = k e + x d ˙ + U a u x = k e + U a u x u=ke+\\dot\{x\_d\}+U\_\{aux\}=ke+U\_\{aux\} u=ke\+xd˙\+Uaux=ke\+Uaux

============================================================================  
接下来进行*Design of Experiments（DOF）*，即*Simulink*仿真，对三种控制器设置不同参数得到五种不同情况的仿真结果。仿真架构及仿真结果如下：

##### 1.整体仿真架构![整体仿真架构][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center] #####

##### 2.High Frequency/epsilon=1![High Frequency/epsilon=1][High Frequency_epsilon_1] #####

##### 3.仿真结果误差e![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1] #####

##### 4.仿真结果输入u #####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
在仿真的过程中开始还出现了这样一个错误：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
指在 S l i d i n g   M o d e Sliding\\space Mode Sliding Mode模块中 S i g n Sign Sign函数零点存在问题，即当 e = 0 e=0 e=0时，函数为 e ∣ e ∣ = 0 ∣ 0 ∣ \\frac\{e\}\{\\left\\vert e\\right\\vert\}=\\frac\{0\}\{\\left\\vert 0\\right\\vert\} ∣e∣e=∣0∣0无法计算，所以需要将此零点去除：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
将仿真结果进行定量的排名得到如下表格：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
将表格内容以雷达图形式表示如下：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
**Simulink源文件：  
链接：https://pan.baidu.com/s/12inDbNOrZzHzTkNJG4jSVA  
提取码：yto7**

**注：** 
我在仿真的时候发现我仿真结果的稳态误差 H i g h   G a i n / e p s i l o n = 1   <   H i g h   F r e q u e n c y / e p s i l o n = 0.1 High\\space Gain/epsilon=1\\space <\\space High\\space Frequency/epsilon=0.1 High Gain/epsilon=1 < High Frequency/epsilon=0.1与DR\_CAN不同，但是表格和雷达图是按照DR\_CAN的结果绘制的。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221124/90334b53f6014b6ca860e220646274b5.png
[High Frequency_epsilon_1]: /images/20221124/cf460fbeae704e739859cb67c5aad9af.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221124/0f32d280d8ca43bbbeb69add23b11f5f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: /images/20221124/60085b9ca0884c6e86460129d830f107.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]: /images/20221124/7aa270aaedb6444e8ced6dba0b406936.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]: /images/20221124/418ab483ed1340f19f52e80e87bcf4b0.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: /images/20221124/cb9e89f287cb4fe19a6b61c02fa4d6d3.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: /images/20221124/d5996166d608469fb2b8c1ac789f635f.png