【数据结构与算法】【算法思想】回溯算法

野性酷女 2022-12-01 11:42 267阅读 0赞

贪心算法  
**回溯算法**  
分治算法  
动态规划

回溯算法思想应用广泛，除了用来指导**深度优先搜索**这种经典算法设计之外，还可以用在如**正则表达式匹配**，**编译原理中的语法分析**等。

除此之外，很多经典的数学问题都可以用回溯算法解决，比如**数独，八皇后，0-1背包，图的着色，旅行商问题，全排列**等等。

### 一：如何理解“回溯算法” ###

回溯的处理思想，有些类似枚举搜索。枚举所有的解，找到满足期望的解。为了有规律的枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，所以把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段都有多个选择，先随意选择一个，当发现走不通时，就退回到上一个岔路口，另选一种走法继续走。  
常用在“搜索”问题：在一组可能的解中，搜索满足期望的解

### 二：例子 ###

#### 八皇后问题 ####

有一个8X8的棋盘，希望往里放8个棋子，每个棋子所在的行，列，对角线都不能有另一个棋子。

第一幅图满足要求，第二幅度图不满足，八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的的放棋子的方式。  
我们把这个问题划分成8个阶段，依次将8个棋子放到第一行，第二行，第三行……第八行。

int[] result = new int[8];//全局或成员变量,下标表示行,值表示queen存储在哪一列
    public void cal8queens(int row) {  // 调用方式：cal8queens(0);
      if (row == 8) {  // 8个棋子都放置好了，打印结果
        printQueens(result);
        return; // 8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，所以就return
      }
      for (int column = 0; column < 8; ++column) {  // 每一行都有8中放法
        if (isOk(row, column)) {  // 有些放法不满足要求
          result[row] = column; // 第row行的棋子放到了column列
          cal8queens(row+1); // 考察下一行
        }
      }
    }
    
    private boolean isOk(int row, int column) { //判断row行column列放置是否合适
      int leftup = column - 1, rightup = column + 1;
      for (int i = row-1; i >= 0; --i) {  // 逐行往上考察每一行
        if (result[i] == column) return false; // 第i行的column列有棋子吗？
        if (leftup >= 0) {  // 考察左上对角线：第i行leftup列有棋子吗？
          if (result[i] == leftup) return false;
        }
        if (rightup < 8) {  // 考察右上对角线：第i行rightup列有棋子吗？
          if (result[i] == rightup) return false;
        }
        --leftup; ++rightup;
      }
      return true;
    }
    
    private void printQueens(int[] result) {  // 打印出一个二维矩阵
      for (int row = 0; row < 8; ++row) { 
        for (int column = 0; column < 8; ++column) { 
          if (result[row] == column) System.out.print("Q ");
          else System.out.print("* ");
        }
        System.out.println();
      }
      System.out.println();
    }

#### 0-1背包 ####

0-1背包是非常经典的算法问题，很多场景都可以抽象炒年糕这个问题模型。这个问题的经典解法是动态规划，不过还有一种简单但没有那么高效的解法，就是回溯算法。  
0-1背包问题有很多变体，例如：有一个背包，背包总的承载重量是Wkg。现在有n个物品的重量不等，并且不可分割。我们现在期望选择几件物品，装载到背包中，在不超过所能装载重量的前提下，如何让背包中物品的总重量最大？  
这个背包问题，在贪心算法中有提到，但在贪心算法中讲的物品是可以分割的，可以将物品的一部分装进背包。此处的背包问题，物品是不可分割的，要么装要么不装，所以叫0-1背包问题。  
对于每个物品来说，都有两种选择，装进背包或在着不装进背包。对于n个物品来说，中的装法就有2^n种，去掉总重量超过过W kg的，从剩下的装法中选择中重量最接近W kg的。

可以用回溯的方法，不重复的找到2^n种装法。把物品依次排列，整个问题就分解为了n个阶段，每个阶段对应的一个物品怎么选择。先对第一个物品进行处理，选择装进去或是不装进去，然后在递归地处理剩下的物品。

public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值
    // cw表示当前已经装进去的物品的重量和；i表示考察到哪个物品了；
    // w背包重量；items表示每个物品的重量；n表示物品个数
    // 假设背包可承受重量100，物品个数10，物品重量存储在数组a中，那可以这样调用函数：
    // f(0, 0, a, 10, 100)
    public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) { 
      if (cw == w || i == n) {  // cw==w表示装满了;i==n表示已经考察完所有的物品
        if (cw > maxW) maxW = cw;
        return;
      }
      f(i+1, cw, items, n, w);//不选择当前物品，直接考虑下一个（第 i+1 个），故 cw 不更新
      if (cw + items[i] <= w) { // 已经超过可以背包承受的重量的时候，就不要再装了
        f(i+1,cw + items[i], items, n, w);//表示选择了当前物品，故考虑下一个时，cw 通过入参更新为 cw + items[i]
      }
    }

#### 2 正则表达式 ####

正则表达式里最重要的一种算法思想就是回溯。  
正则表达式中，最重要的就是通配符，通配符结合在一起，可以表达非常丰富的语义。假设：正则表达式中只包含 “*”和“？”这两种通配符，并且对这两种通配符的语义稍微做些改变。其中，“*”匹配任意多个（大于等于0个）任意字符，“？”匹配零个或者一个任意字符。基于以上背景假设，看下如何用回溯算法，判断一个给定的文本，能否跟给定的正则表达式匹配？  
依次考察正则表达式中的每个字符，当是非通配符时，就直接跟文本的字符进行匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。  
如果遇到特殊字符的时候，就有多种处理方式，如“\*”有多种匹配方案，可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意的选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。如果中途发现无法继续匹配下去，就回到这个岔路口，重新选择一种匹配方案，然后继续匹配剩下的字符。

public class Pattern { 
      private boolean matched = false;
      private char[] pattern; // 正则表达式
      private int plen; // 正则表达式长度
    
      public Pattern(char[] pattern, int plen) { 
        this.pattern = pattern;
        this.plen = plen;
      }
    
      public boolean match(char[] text, int tlen) {  // 文本串及长度
        matched = false;
        rmatch(0, 0, text, tlen);
        return matched;
      }
    
      private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) { 
        if (matched) return; // 如果已经匹配了，就不要继续递归了
        if (pj == plen) {  // 正则表达式到结尾了
          if (ti == tlen) matched = true; // 文本串也到结尾了
          return;
        }
        if (pattern[pj] == '*') {  // *匹配任意个字符
          for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) { 
            rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen);
          }
        } else if (pattern[pj] == '?') {  // ?匹配0个或者1个字符
          rmatch(ti, pj+1, text, tlen);
          rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
        } else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) {  // 纯字符匹配才行
          rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);
        }
      }
    }

回溯算法本质上就是枚举，优点在于其类似于摸着石头过河的查找策略，且可以通过剪枝少走冤枉路。它可能适合应用于缺乏规律，或我们还不了解其规律的搜索场景中。

[笔记整理来源： 王争 数据结构与算法之美][Link 1]

[Link 1]: https://s1.ax1x.com/2020/08/03/aUh2TS.png