速度和静力

短命女 2022-12-08 14:22 139阅读 0赞

# 速度和静力 #

## 位置矢量的微分 ##

下面表示某个矢量的微分  
 B V Q = d d t   B Q = lim ⁡ Δ t → 0 B Q ( t + Δ t ) − B Q ( t ) Δ t (5-1) ^\{B\}V\_Q=\{\\frac\{d\}\{dt\}\}\\ ^\{B\}Q=\\lim\_\{\\Delta\{t \\to 0\}\}\\frac\{^BQ(t+\\Delta\{t\})-^BQ(t)\}\{\\Delta t\} \\tag\{5-1\} BVQ=dtd BQ=Δt→0limΔtBQ(t\+Δt)−BQ(t)(5\-1)  
位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空间一点的线速度。重要的是必须说明一个矢量是相对于哪个坐标系求微分。如果在坐标系\{A\}中表示式（5-1）的速度矢量，可以写为  
 A ( B V Q ) = A d d t   B Q (5-2) ^A(^BV\_Q)=\\frac\{^Ad\}\{dt\} \\ ^BQ \\tag\{5-2\} A(BVQ)=dtAd BQ(5\-2)  
通常情况下，速度矢量都是与空间的某点相关的，而描述此点速度的大小取决于两个坐标系，一个是进行微分运算的坐标系，另一个是描述这个速度矢量的坐标系。

当两个坐标系相同时，进行参考坐标系变换的矩阵可以清楚表示坐标系间的关系，因此总是省略外部左上标，例如  
 A ( B V Q ) = B A R B V Q (5-4) ^A(^BV\_Q)=^A\_BR^BV\_Q \\tag\{5-4\} A(BVQ)=BARBVQ(5\-4)

## 角速度矢量 ##

角速度矢量，用 Ω \\Omega Ω表示。线速度描述了点的一种属性，角速度描述了刚体的一种属性。

A Ω B ^A\\Omega \_B AΩB描述了坐标系\{B\}相对于坐标系\{A\}的旋转。 C ( A Ω B ) ^C(^A\\Omega\_B) C(AΩB)就是坐标系\{B\}相对于坐标系\{A\}的角速度在坐标系\{C\}中的描述。若已知参考坐标系非常简单，常常不需要符号表示：  
 ω C = U Ω C (5-6) \\omega \_C=^U\\Omega \_C \\tag\{5-6\} ωC=UΩC(5\-6)  
 ω C \\omega \_C ωC为坐标系\{C\}相对于某个已知参考坐标系\{U\}的角速度。

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## 刚体的线速度和角速度 ##

### 线速度 ###

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只有线速度（相对方位保持不变）时  
 A V Q = A V B O R G + B A R B V Q (5-7) ^AV\_Q=^AV\_\{BORG\}+^A\_BR^BV\_Q \\tag\{5-7\} AVQ=AVBORG\+BARBVQ(5\-7)

### 角速度 ###

位置矢量 B Q ^BQ BQ固连于\{B\}，\{B\}相对于\{A\}旋转 A Ω B ^A\\Omega \_B AΩB。那么  
 B V Q = 0 (5-8) ^BV\_Q=0 \\tag\{5-8\} BVQ=0(5\-8)

∣ Δ Q ∣ = ( ∣ A Q ∣ sin ⁡ θ ) ( ∣ A Ω B ∣ Δ t ) (5-9) |\\Delta Q|=(|^AQ|\\sin \\theta)(|^A\\Omega \_B|\\Delta t) \\tag\{5-9\} ∣ΔQ∣=(∣AQ∣sinθ)(∣AΩB∣Δt)(5\-9)

这些矢量满足矢量积  
 A V Q = A Ω B × A Q ^AV\_Q=^A\\Omega \_B \\times ^AQ AVQ=AΩB×AQ  
上述是假设位置矢量 B Q ^BQ BQ固连于\{B\}，若 Q Q Q是相对于坐标系\{B\}变化的，有  
 A V Q = A ( B V Q ) + A Ω B × A Q (5-11) ^AV\_Q=^A(^BV\_Q)+^A\\Omega \_B \\times ^AQ \\tag\{5-11\} AVQ=A(BVQ)\+AΩB×AQ(5\-11)  
利用旋转矩阵得  
 A V Q = B A R B V Q + A Ω B × B A R B Q (5-11) ^A\\mathbf V\_Q=^A\_B\\mathbf R^B \\mathbf V\_Q+^A\\mathbf \\Omega \_B\\times ^A\_B\\mathbf R^B\\mathbf Q \\tag\{5-11\} AVQ=BARBVQ\+AΩB×BARBQ(5\-11)

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## 线速度和角速度同时存在的情况 ##

考虑原点的速度公式，得到在坐标系\{A\}中观测坐标系\{B\}中固定速度矢量的普遍公式：  
 A V Q = A V B O R G + B A R B V Q + A Ω B × B A R B Q (5-13) ^A\\mathbf V\_Q=^A\\mathbf V\_\{BORG\}+^A\_B\\mathbf R^B\\mathbf V\_Q+^A\\mathbf \\Omega \_B\\times ^A\_B\\mathbf R^B\\mathbf Q \\tag\{5-13\} AVQ=AVBORG\+BARBVQ\+AΩB×BARBQ(5\-13)

## 正交矩阵的导数性质 ##

R R T = I n (5-14) \\mathbf R \\mathbf R^T=\\mathbf I\_n \\tag\{5-14\} RRT=In(5\-14)

R ˙ R T + R R ˙ T = 0 n (5-15) \\dot\{\\mathbf R\}\\mathbf R^T+\\mathbf R\\mathbf \{\\dot\{R\}\}^T=\\mathbf 0\_n \\tag\{5-15\} R˙RT\+RR˙T=0n(5\-15)

R ˙ R T + ( R ˙ R T ) T = 0 n (5-16) \\dot\{\\mathbf R\}\\mathbf R^T+(\\dot\{\\mathbf R\}\\mathbf R^T)^T=\\mathbf 0\_n \\tag\{5-16\} R˙RT\+(R˙RT)T=0n(5\-16)

可以导出  
 S = R ˙ R − 1 (5-19) \\mathbf S=\\mathbf \{\\dot R R\}^\{-1\} \\tag\{5-19\} S=R˙R−1(5\-19)

## 由于参考系旋转的点速度 ##

向量 B p ^Bp Bp固连于\{B\}，在\{A\}中的描述为  
 A p = B A R   B p (5-20) ^A\\mathbf p=^A\_B\\mathbf R\\ ^B\\mathbf p \\tag\{5-20\} Ap=BAR Bp(5\-20)  
如果\{B\}是旋转的， A p  ^Ap Ap也是变化的， B p  ^Bp Bp为常数，那么有  
 A p ˙ = B A R ˙   B P (5-21) ^A\\mathbf\{\\dot p\}=^A\_B\\mathbf\{\\dot R\} \\ ^B\\mathbf P \\tag\{5-21\} Ap˙=BAR˙ BP(5\-21)  
或者用速度符号可以写为  
 A V p = B A R ˙   B p (5-22) ^A\\mathbf V\_p=^A\_B\\mathbf \{\\dot R\}\\ ^B\\mathbf p \\tag\{5-22\} AVp=BAR˙ Bp(5\-22)  
代入 B p ^B\\mathbf p Bp的表达式得  
 A V p = B A R ˙ B A R − 1   A p (5-23) ^A \\mathbf V\_p=^A\_B \\dot R ^A\_B R^\{-1\}\\ ^A\\mathbf p \\tag\{5-23\} AVp=BAR˙BAR−1 Ap(5\-23)  
利用正交矩阵(5-19)，有  
 A V p = B A S A p (5-24) ^A\\mathbf V\_p=^A\_B\\mathbf S^A\\mathbf p \\tag\{5-24\} AVp=BASAp(5\-24)

### 反对称矩阵和矢量积 ###

如果反对称矩阵S的各元素如下  
 S = \[ 0 − Ω x Ω y Ω x 0 − Ω x − Ω y Ω x 0 \] (5-25) \\mathbf S=\\left \[ \\begin \{matrix\} 0 && -\\Omega \_x && \\Omega \_y \\\\ \\Omega \_x && 0 && -\\Omega \_x \\\\ -\\Omega \_y && \\Omega \_x &&0 \\end\{matrix\} \\right \] \\tag\{5-25\} S=⎣⎡0Ωx−Ωy−Ωx0ΩxΩy−Ωx0⎦⎤(5\-25)

定义 3 × 1 3\\times 1 3×1的列矢量  
 Ω = \[ Ω y Ω x Ω z \] (5-26) \\Omega=\\left \[ \\begin\{matrix\}\\Omega \_y \\\\ \\Omega \_x \\\\ \\Omega \_z \\end\{matrix\} \\right \] \\tag\{5-26\} Ω=⎣⎡ΩyΩxΩz⎦⎤(5\-26)  
可以证明  
 S P = Ω × P SP=\\Omega \\times P SP=Ω×P  
式中，P为任意矢量，  × \\times ×表示矢量积。  
与 3 × 3 3\\times 3 3×3的角速度矩阵相对应 3 × 1 3\\times 1 3×1矢量 Ω \\Omega Ω称为角速度矢量，与式（5-24）联立可以写为  
 A V P = A Ω B × A P (5-28) ^AV\_P=^A\\Omega \_B\\times ^AP \\tag\{5-28\} AVP=AΩB×AP(5\-28)  
式中与 Ω \\Omega Ω相关的符号表明角速度矢量确定了坐标系\{B\}县归于坐标系\{A\}的运动。

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