【DSP数字信号处理学习笔记】——IIR数字滤波器设计全攻略

水深无声 2022-12-27 04:57 264阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、设计数字IIR低通滤波器
 *   *  1.1 情况一
     *  1.2 情况二
 *  二、设计其他类型的数字IIR滤波器（基于模拟低通原型）
 *   *  2.1 方法一：模拟谱变换法
     *  2.2 方法二：数字谱变换法
 *  补充一些知识点：

> 写在前面：本次博客重点在于给出各种IIR数字滤波器的设计步骤，因此不再对一些名词做额外的解释。

# 一、设计数字IIR低通滤波器 #

## 1.1 情况一 ##

题目给出所需要设计的数字低通滤波器的性能指标： ω p , ω s , α p , α s \\omega\_p,\\omega\_s,α\_p, α\_s ωp,ωs,αp,αs （分别是通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减和阻带衰减）。

【第一步】：**预扭曲**，目的是将数字频率指标转换成对应的模拟频率指标（**这里就是将给出的数字低通滤波器的频率指标 ω p , ω s \\omega\_p,\\omega\_s ωp,ωs 转化成对应的模拟低通滤波器的频率指标 Ω p , Ω s Ω\_p,Ω\_s Ωp,Ωs**）。做法如下： Ω p = t a n ( ω p 2 ) Ω s = t a n ( ω s 2 ) Ω\_p = tan(\\frac\{\\omega\_p\}\{2\})\\\\ \\quad\\\\ Ω\_s = tan(\\frac\{\\omega\_s\}\{2\}) Ωp=tan(2ωp)Ωs=tan(2ωs)

【设计模拟低通滤波器】：具体做法如下：  
首先根据式子： α p = 20 l g ( 1 + ε 2 ) α s = 20 l g A α\_p = 20lg(\\sqrt\{1+ε^2\})\\\\ \\quad\\\\ α\_s = 20lgA αp=20lg(1\+ε2)αs=20lgA  
可以分别求出  ε ε ε和  A A A。

接下来我们需要确定滤波器的阶数，我们先计算： 1 k = Ω s Ω p 1 k 1 = A 2 − 1 ε \\frac\{1\}\{k\} = \\frac\{Ω\_s\}\{Ω\_p\}\\\\ \\quad\\\\ \\frac\{1\}\{k\_1\} = \\frac\{\\sqrt\{A^2-1\}\}\{ε\} k1=ΩpΩsk11=εA2−1

下面就可以得到巴特沃斯低通滤波器的阶数  N N N： N = l g ( 1 k 1 ) l g ( 1 k ) N = \\frac\{lg(\\frac\{1\}\{k\_1\})\}\{lg(\\frac\{1\}\{k\})\} N=lg(k1)lg(k11)  
（注：**得到的N如果不是整数，就取一个比它大的最小整数**）

然后通过查表（这个表考试的时候会给出来）得到归一化巴特沃斯低通滤波器的频率相应  H ( s ) H(s) H(s)：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
我们还需要通过下面的公式计算截止频率  Ω c Ω\_c Ωc： 1 1 + ( Ω p Ω c ) 2 N = 1 1 + ε 2 \\frac\{1\}\{1+(\\frac\{Ω\_p\}\{Ω\_c\})^\{2N\}\} = \\frac\{1\}\{1+ε^2\} 1\+(ΩcΩp)2N1=1\+ε21

那么，我们就可以通过  Ω c Ω\_c Ωc 得到去归一化巴特沃斯低通滤波器的频率响应表达式  H a ( s ) H\_a(s) Ha(s)： H a ( s ) = H ( s Ω c ) H\_a(s) = H(\\frac\{s\}\{Ω\_c\}) Ha(s)=H(Ωcs)

【第三步】：**双线性变换**，这一步的作用是将刚刚设计好的模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器，做法如下： G ( z ) = H a ( s ) ∣ s = 1 − z − 1 1 + z − 1 G(z) = H\_a(s)|\_\{s = \\frac\{1-z^\{-1\}\}\{1+z^\{-1\}\}\} G(z)=Ha(s)∣s=1\+z−11−z−1

至此，一个符合要求的数字低通IIR滤波器就完成了。

## 1.2 情况二 ##

如果题目给的不是 ω p , ω s \\omega\_p,\\omega\_s ωp,ωs，而是  F P , F S F\_P, F\_S FP,FS以及采样频率  F T F\_T FT，那么我们也只需要在刚刚情况一的基础上在增加一步：将 F P , F S F\_P, F\_S FP,FS变成 ω p , ω s \\omega\_p,\\omega\_s ωp,ωs，具体做法如下： ω p = 2 π F P F T ω s = 2 π F S F T \\omega\_p = \\frac\{2\\pi F\_P\}\{F\_T\}\\\\ \\quad\\\\ \\omega\_s = \\frac\{2\\pi F\_S\}\{F\_T\} ωp=FT2πFPωs=FT2πFS

然后后面的步骤和情况一一模一样。

# 二、设计其他类型的数字IIR滤波器（基于模拟低通原型） #

## 2.1 方法一：模拟谱变换法 ##

设计其他类型的滤波器，诸如高通、带通或者带阻（我们先记为  X X X 类滤波器），最常见的办法就是将给定的数字IIR  X X X 型滤波器的频率指标通过**预扭曲**变成对应的模拟  X X X 型滤波器的频率指标，然后通过**模拟谱变换**的方法变成模拟低通原型滤波器的频率指标，然后还是去**设计这个模拟低通滤波器**，最后我们再使用**模拟谱反变换**将设计好的模拟低通滤波器转换为相应的模拟  X X X 型滤波器，最后再使用**双线性变换**，将这个模拟  X X X型滤波器转换成对应的数字IIR  X X X 型滤波器。

大家可能发现了：其实最大的不同只是加上了模拟谱变换以及模拟谱反变换罢了。下面我们针对设计IIR高通滤波器来解释一下做法。

如果给定了IIR数字高通的频率指标  ω p , ω s , α p , α s \\omega\_p,\\omega\_s,α\_p, α\_s ωp,ωs,αp,αs

【第一步】预扭曲得到 Ω ^ p , Ω ^ s \\hat\{Ω\}\_p,\\hat\{Ω\}\_s Ω^p,Ω^s  
【第二步】模拟谱变换，将现在的模拟高通指标转换为对应的模拟低通原型。具体做法是： Ω s = Ω ^ p Ω p Ω ^ s Ω\_s = \\frac\{\\hat\{Ω\}\_pΩ\_p\}\{\\hat\{Ω\}\_s\} Ωs=Ω^sΩ^pΩp  
而这里我们就假设模拟低通原型滤波器的归一化通带截止频率是  Ω p = 1 Ω\_p = 1 Ωp=1

【第三步】现在已知了 Ω p , Ω s , α p , α s Ω\_p,Ω\_s,α\_p, α\_s Ωp,Ωs,αp,αs就可以开始设计模拟低通了。

【第四步】设计好模拟低通，得到去归一化传输函数  H a ( s ) H\_a(s) Ha(s) 之后，使用模拟谱反变换，具体做法如下： H D ( s ^ ) = H a ( s ) ∣ s = 1 s ^ H\_D(\\hat\{s\}) = H\_a(s)|\_\{s = \\frac\{1\}\{\\hat\{s\}\}\} HD(s^)=Ha(s)∣s=s^1

【第五步】双线性变换，得到IIR数字高通滤波器的z域相应。

## 2.2 方法二：数字谱变换法 ##

所谓数字谱变换，其实也比较类似，只不过顺序有所不同：

设计其他类型的滤波器，诸如高通、带通或者带阻（我们先记为  X X X 类滤波器），我们先将给定的数字IIR  X X X 型滤波器的频率指标通过**数字谱变换**得到数字IIR 低通原型滤波器的频率指标，然后做**预扭曲**得到对应的模拟低通滤波器的频率指标，接下来就**设计模拟低通滤波器**，然后我们使用**双线性变换**得到数字IIR低通滤波器的z域相应，最后再用一次**数字谱逆变换**，得到所需的 数字X滤波器的响应。

# 补充一些知识点： #

下面是博主在复习时发现考试愿意考，但是我们也许会忽略的点—— 几种模拟滤波器逼近方法的特点：

1.  巴特沃斯逼近：在  Ω = 0 Ω=0 Ω=0 处有**最平坦幅度**。
2.  切比雪夫Ⅰ型逼近：在**通带有等波纹**性质；在**阻带内单调（即平滑的意思）**。
3.  切比雪夫Ⅱ型逼近：在**阻带有等波纹性质**；在**通带内单调**。
4.  椭圆逼近：**在通带和阻带都具有等波纹性质**。

**在满足相同技术指标的前提下，巴特沃斯逼近所需要的滤波器阶数最高。高于切比雪夫和椭圆逼近。椭圆逼近所需要的阶数是最低的！**

**过渡带带宽：巴特沃斯>切比雪夫>椭圆滤波器**

**另外：巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器在其通带的  3 4 \\frac\{3\}\{4\} 43内近似线性相位。椭圆滤波器在其通带的  1 2 \\frac\{1\}\{2\} 21内近似线性相位。**

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