卷积法求解系统的零状态响应_《现代控制理论基础》— 4 状态空间的数学模型（二）...

悠悠 2023-01-02 01:18 125阅读 0赞

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今天对系统的运动会给分析开展介绍，这部分主要任务是通过状态方程得到状态转移矩阵、状态响应和传递函数。

## 1 状态转移矩阵 ##

对于状态方程

![Image 1][] 求解齐次方程

![Image 1][] 的解。

状态转移矩阵将系统每一刻状态变量的信息与状态变量的初试状态建立关系，状态转移矩阵包含了自由运动的全部信息。

### 1.1 状态转移矩阵的求解 ###

方法有两种，幂级数法和拉普拉斯变换法。

**幂级数法**

设

![Image 1][] 的解是关于

![Image 1][] 的向量幂级数

![Image 1][]

则

![Image 1][]

由

![Image 1][] 可得

![Image 1][]

我们将上式中的系数定义如下：

状态转移矩阵

![Image 1][]

**拉普拉斯变换法**

先将齐次方程

![Image 1][] 经过拉式变换后，加以整理，最后再拉式反变换得到状态转移矩阵。

![Image 1][]

状态转移矩阵

![Image 1][]

**例题1** 已知

![Image 1][] ，求状态转移矩阵。

![Image 1][]

### 1.2 状态转移矩阵的性质 ###

1.  ![Image 1][]
2.  ![Image 1][]
3.  ![Image 1][]
4.  ![Image 1][]
5.  ![Image 1][]
6.  ![Image 1][]

上述几个特性中，特性1和性质2尤其重要，可得

![Image 1][] 。

**例题2** 求例题1中状态方程的状态矩阵。

![Image 1][]

### 1.3 对角阵的状态转移矩阵 ###

![Image 1][]

**针对可对角化的矩阵**，由于有

![Image 1][]

因此

![Image 1][]

其中

![Image 1][]

### 1.4 约当阵的状态转移矩阵 ###

![Image 1][]

**针对可约当化的矩阵**，由于有

![Image 1][]

因此

![Image 1][]

其中

![Image 1][]

## 2 状态响应 ##

在求解完其次状态方程的解后，需要求解非齐次方程

![Image 1][] 的解。

采用拉式变换的方法求解。

![Image 1][]

通过拉式变换的卷积定理，可得

![Image 1][]

**例题3** 求系统

![Image 1][] 在两倍单位阶跃输入下的状态响应。

![Image 1][]

代入

![Image 1][] 即可

## 3 传递函数 ##

在零初始条件下，对状态方程

![Image 1][] 和输出方程

![Image 1][] 拉氏变换。

![Image 1][]

**例题4** 已知

![Image 1][] ，

![Image 1][] ，求系统的传递函数。

![Image 1][]

2020.04.16

[9a4d9bc7a7b97548f863862b05a00728.png]: /images/20221120/0f17675a9dcc47088a0a9bb4753f3d5b.png
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