通信电子电路（二十三）习题讲解第五章

深碍√TFBOYSˉ_ 2023-02-22 10:40 5阅读 0赞

## 第五章 ##

![在这里插入图片描述][2020061421132565.png]  
调制信号含有两个频率，是多音的FM调制  
我们直接上公式：）  
 u F M ( t ) = U c m c o s ( ω c t + m f 1 s i n Ω 1 t + m f 2 s i n Ω 2 t ) u\_\{FM\}(t)=U\_\{cm\}cos(\\omega\_c t+m\_\{f1\}sin\\Omega\_1 t+m\_\{f2\}sin\\Omega\_2 t) uFM(t)=Ucmcos(ωct\+mf1sinΩ1t\+mf2sinΩ2t)

其中：

*   ω c = 2 π f c = 6.28 × 1 0 8 r a d / s \\omega\_c=2\\pi f\_c=6.28\\times10^8rad/s ωc=2πfc=6.28×108rad/s
 *   Ω 1 = 2000 π \\Omega\_1=2000\\pi Ω1=2000π
 *   Ω 2 = 1000 π \\Omega\_2=1000\\pi Ω2=1000π

而又因为两种频率分量的频偏相同，即频偏公式为：  
 Δ f m a x = Δ f m a x 1 = Δ f m a x 2 = m f Ω 2 π = 20 K H z \\Delta f\_\{max\}=\\Delta f\_\{max1\}=\\Delta f\_\{max2\}=\\frac\{m\_f\\Omega\}\{2\\pi\}=20KHz Δfmax=Δfmax1=Δfmax2=2πmfΩ=20KHz  
因此 m f 1 = 2 π × Δ f m a x 1 Ω 1 = 20 m\_\{f1\}=\\frac\{2\\pi \\times \\Delta f\_\{max1\}\}\{\\Omega\_1\}=20 mf1=Ω12π×Δfmax1=20  
 m f 2 = 2 π × Δ f m a x 2 Ω 2 = 40 m\_\{f2\}=\\frac\{2\\pi \\times \\Delta f\_\{max2\}\}\{\\Omega\_2\}=40 mf2=Ω22π×Δfmax2=40  
代入公式得到FM表达式：  
 u F M ( t ) = 5 c o s ( 2 π × 1 0 8 t + 20 s i n 2 π × 1 0 3 t + 40 s i n 2 π × 500 t ) u\_\{FM\}(t)=5cos(2\\pi\\times10^8t+20sin2\\pi\\times10^3t+40sin2\\pi\\times500t) uFM(t)=5cos(2π×108t\+20sin2π×103t\+40sin2π×500t)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
(1)我们知道FM的原理是，将信号的幅度通过频率表达出来，比如这道题说"unit modulation voltage"，意思就是每1V的幅值变化，我通过1KHz的频率变化来表达，那么这道题的转换系数就是 1 K H z / V 1KHz/V 1KHz/V，即 K f = 2 π × 1 K H z / V K\_f=2\\pi \\times1KHz/V Kf=2π×1KHz/V，而调制信号幅值变化 U Ω m = 0.1 V U\_\{\\Omega m\}=0.1V UΩm=0.1V  
所以最大频偏 Δ f m a x = m f f c = m f Ω 2 π = 1 K H z / V × 0.1 V \\Delta f\_\{max\}=m\_f f\_c=\\frac\{m\_f \\Omega\}\{2 \\pi\}=1KHz/V \\times0.1V Δfmax=mffc=2πmfΩ=1KHz/V×0.1V

然后我们上公式：  
 Δ f m a x = K f U Ω m 2 π = 1 K H z / V × 0.1 V \\Delta f\_\{max\}=\\frac\{K\_fU\_\{\\Omega m\}\}\{2\\pi\}=1KHz/V \\times0.1V Δfmax=2πKfUΩm=1KHz/V×0.1V  
 m f = 0.1 m\_f=0.1 mf=0.1  
所以带宽可以通过公式求出：

*  FM:  B F M = 2 ( m f + 1 ) Ω = 2.2 × 1 0 3 H z B\_\{FM\}=2(m\_f+1)\\Omega=2.2\\times10^3Hz BFM=2(mf\+1)Ω=2.2×103Hz
 *  AM:  B A M = 2 Ω = 2 K H z B\_\{AM\}=2\\Omega=2KHz BAM=2Ω=2KHz

(2)其实套路差不多，就是**幅值**变了，对于AM，其带宽与调制信号幅度无关(不涉及幅度与频率互换)，所以：  
 B A M = 2 Ω = 2 K H z B\_\{AM\}=2\\Omega=2KHz BAM=2Ω=2KHz  
而FM，套用前面公式：  
 B F M = 2 ( m f + 1 ) Ω = 2 Δ ′ f m a x + 2 Ω = 2 × 20 K H z + 2 × 1 K H z = 42 K H z B\_\{FM\}=2(m\_f+1)\\Omega=2\\Delta'f\_\{max\}+2\\Omega=2\\times20KHz+2\\times 1KHz=42KHz BFM=2(mf\+1)Ω=2Δ′fmax\+2Ω=2×20KHz\+2×1KHz=42KHz  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
(1)有前面两题铺垫，这里套公式就好：  
 Δ f m a x = K f U Ω m 2 π = 75 K H z → K f U Ω m = 150 π × 1 0 3 H z → m f = 250 \\Delta f\_\{max\}=\\frac\{K\_fU\_\{\\Omega m\}\}\{2\\pi\}=75KHz\\to K\_fU\_\{\\Omega m\}=150\\pi\\times10^3Hz\\to m\_f=250 Δfmax=2πKfUΩm=75KHz→KfUΩm=150π×103Hz→mf=250  
 B F M = 2 ( m f + 1 ) F = 150.6 K H z B\_\{FM\}=2(m\_f+1)F=150.6KHz BFM=2(mf\+1)F=150.6KHz

(2)由于（1）中的 K f U Ω m = 150 π × 1 0 3 H z K\_fU\_\{\\Omega m\}=150\\pi\\times10^3Hz KfUΩm=150π×103Hz  
 m f = 25 m\_f=25 mf=25  
 B F M = 2 ( m f + 1 ) F = 156 K H z B\_\{FM\}=2(m\_f+1)F=156KHz BFM=2(mf\+1)F=156KHz

(3) m f = 5 m\_f=5 mf=5  
 B F M = 2 ( m f + 1 ) F = 180 K H z B\_\{FM\}=2(m\_f+1)F=180KHz BFM=2(mf\+1)F=180KHz  
![在这里插入图片描述][20200614211426690.png]  
这道题是针对角度调制的，核心是利用调频系数 K f K\_f Kf不变的特点，虽然调制系数 m f m\_f mf和幅值变化了，还是可以求出来新的调制系数

不过角度调制旗下的调相（PM）和调频（FM）公式不一样 我们分开讨论：）

U Ω m = 2.4 V , U Ω m ′ = 3.2 V , F = 400 H z , F ′ = 250 H z U\_\{\\Omega m\}=2.4V, U\_\{\\Omega m\}'=3.2V, F=400Hz, F'=250Hz UΩm=2.4V,UΩm′=3.2V,F=400Hz,F′=250Hz

*  FM： m f = K f U Ω m 2 π F m\_f=\\frac\{K\_fU\_\{\\Omega m\}\}\{2\\pi F\} mf=2πFKfUΩm  
     m f ′ = K f U Ω m ′ 2 π F ′ m\_f'=\\frac\{K\_fU\_\{\\Omega m\}'\}\{2\\pi F'\} mf′=2πF′KfUΩm′  
     m f ′ = 128 m\_f'=128 mf′=128

--------------------

*  AM： m p = K p U Ω m m\_p=K\_pU\_\{\\Omega m\} mp=KpUΩm  
     m p ′ = K p U Ω m ′ m\_p'=K\_pU\_\{\\Omega m\}' mp′=KpUΩm′  
     m p ′ = 80 m\_p'=80 mp′=80

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
这题补充一下：载波的频率 f c f\_c fc以及载波幅值 U c m U\_\{cm\} Ucm，原始的调制信号幅值 U Ω m ( t ) U\_\{\\Omega m\}(t) UΩm(t)**已知**

（1）通过FM解调特性曲线fig5-1，我们可以看到一定范围内的线性的幅频变换，变换系数就是跨导（斜率） k = g d k=g\_d k=gd，公式： Δ U = g d ⋅ Δ f → g d = − 0.01 V / K H z \\Delta U=g\_d·\\Delta f\\to g\_d=-0.01V/KHz ΔU=gd⋅Δf→gd=−0.01V/KHz

（2）通过解调器输出，也就是原函数的公式，我们可以知道：  
 U c m = 1 V , F = 2 K H z U\_\{cm\}=1V, F=2KHz Ucm=1V,F=2KHz，这里是单音调制，所以FM调制后信号函数为：

u F M ( t ) = U c m c o s ( 2 π × f c t + m f s i n 2 π F t ) u\_\{FM\}(t)=U\_\{cm\}cos(2\\pi\\times f\_c t+m\_fsin2\\pi Ft) uFM(t)=Ucmcos(2π×fct\+mfsin2πFt)

而通过最大频偏 Δ f m a x = Δ u m a x / g d = m f ⋅ F = − 100 K H z → m f = − 50 \\Delta f\_\{max\}=\\Delta u\_\{max\}/g\_d=m\_f·F=-100KHz \\to m\_f=-50 Δfmax=Δumax/gd=mf⋅F=−100KHz→mf=−50

所以：  
 u F M ( t ) = U c m c o s ( 2 π × f c t − 50 s i n 4 π × 1 0 3 t ) u\_\{FM\}(t)=U\_\{cm\}cos(2\\pi\\times f\_c t-50sin4\\pi \\times 10^3t) uFM(t)=Ucmcos(2π×fct−50sin4π×103t)  
 u Ω m ( t ) = − U Ω m c o s ( 4 π × 1 0 3 t ) u\_\{\\Omega m\}(t)=-U\_\{\\Omega m\}cos(4\\pi\\times10^3t) uΩm(t)=−UΩmcos(4π×103t)  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

[2020061421132565.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020061421132565.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200614211401177.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200614211413293.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[20200614211426690.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200614211426690.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200614211441657.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200614211735104.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA==,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020061421182091.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzE3ODgyOA==,size_16,color_FFFFFF,t_70