排列组合（递推矩阵）

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2023-02-28 01:52 35阅读 0赞

##### 排列与组合有什么区别？ #####

排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。  
![排列与组合][20200719124211373.png]

--------------------

##### 如何递推出对应的排列组合呢？ #####

①组合  
通过上面的组合公式可以得到下面的数据表格

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>n\m</th> 
   <th>0</th> 
   <th>1</th> 
   <th>2</th> 
   <th>3</th> 
   <th>4</th> 
   <th>5</th> 
   <th>6</th> 
   <th>…</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>1</td> 
   <td>1</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>2</td> 
   <td>1</td> 
   <td>2</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>3</td> 
   <td>1</td> 
   <td>3</td> 
   <td>6</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>4</td> 
   <td>1</td> 
   <td>4</td> 
   <td>12</td> 
   <td>24</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>5</td> 
   <td>1</td> 
   <td>5</td> 
   <td>20</td> 
   <td>60</td> 
   <td>120</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>6</td> 
   <td>1</td> 
   <td>6</td> 
   <td>30</td> 
   <td>20</td> 
   <td>360</td> 
   <td>720</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**组合递推式**  
f\[n\]\[m\] = f\[n\]\[m-1\] \* ( n - m + 1)

②、排列  
通过上面的排列公式可以得到下面的数据表格

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>n\m</th> 
   <th>0</th> 
   <th>1</th> 
   <th>2</th> 
   <th>3</th> 
   <th>4</th> 
   <th>5</th> 
   <th>6</th> 
   <th>…</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>0</td> 
   <td>1</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>1</td> 
   <td>1</td> 
   <td>1</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>2</td> 
   <td>1</td> 
   <td>2</td> 
   <td>1</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>3</td> 
   <td>1</td> 
   <td>3</td> 
   <td>3</td> 
   <td>1</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>4</td> 
   <td>1</td> 
   <td>4</td> 
   <td>6</td> 
   <td>4</td> 
   <td>1</td> 
   <td>0</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>5</td> 
   <td>1</td> 
   <td>5</td> 
   <td>10</td> 
   <td>10</td> 
   <td>5</td> 
   <td>1</td> 
   <td>0</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>6</td> 
   <td>1</td> 
   <td>6</td> 
   <td>15</td> 
   <td>20</td> 
   <td>15</td> 
   <td>6</td> 
   <td>1</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
   <td>…</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**排列递推式**  
f\[n\]\[m\] = f\[n-1\]\[m-1\] + f\[n-1\]\[m\]

--------------------

##### 代码实现 #####

①组合

//组合
    void A(int n){ 
       for(int i=0; i<=n; i++)
       	f[i][0] = 1;
       for(int i=1; i<=n; i++)
       for(int j=1; j<i; j++)
       	f[i][j] = f[i][j-1] * ( i - j + 1);
    }

②、排列

//排列
    void C(int n){ 
    	//初始化
       for(int i=0; i<=n; i++)
       	f[i][0] = f[i][i] = 1;
       	
       //递推
       for(int i=1; i<=n; i++)
       for(int j=1; j<i; j++)
       	f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j];
    }

--------------------

当要求多组排列组合数时，提前生成排列组合矩阵能够有效避免重复运算，提高程序性能。

[20200719124211373.png]: /images/20230209/0ac8346c4c5c43e7961c1cd3b755e427.png

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