【概率论与数理统计 Probability and Statistics 15】—— 正态总体下的抽样分布

你的名字 2023-03-13 03:16 10阅读 0赞

> 在开始这一次 Blog 之前，我们先明确我们要干啥—— 什么是正态总体下的抽样分布？首先，就是这个总体是服从正态分布的。然后我们从总体中抽取出的这些样本所构成的统计量所服从的分布，就是我们今天需要学习的。本节难度较大，主要难在那几种分布（ x 2 x^2 x2, t 分布、F分布之间的拼凑）

# 一、需要用到的定理或性质准备 #

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【1】就是  x 2 x^2 x2 分布的定义：若  X i ∼ N ( 0 , 1 ) X\_i \\sim N(0,1) Xi∼N(0,1)，那么有： ∑ i = 1 n X i 2 ∼ x 2 ( n ) \\sum\_\{i=1\}^\{n\}X\_i^2 \\sim x^2(n) i=1∑nXi2∼x2(n)

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【2】接下来就是  x 2 x^2 x2 分布的性质：若  X i ∼ x 2 ( n 1 ) , Y i ∼ x 2 ( n 2 ) X\_i \\sim x^2(n\_1), Y\_i \\sim x^2(n\_2) Xi∼x2(n1),Yi∼x2(n2)，那么： X i + Y i ∼ x 2 ( n 1 + n 2 ) X\_i + Y\_i \\sim x^2(n\_1 + n\_2) Xi\+Yi∼x2(n1\+n2)

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【3】关于  t t t 分布的定义：若  X i ∼ N ( 0 , 1 ) X\_i \\sim N(0,1) Xi∼N(0,1)， Y i ∼ x 2 ( n ) Y\_i \\sim x^2(n) Yi∼x2(n)，那么： X i Y i / n ∼ t ( n ) \\frac\{X\_i\}\{\\sqrt\{Y\_i/n\}\} \\sim t(n) Yi/nXi∼t(n)

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【4】然后就是 F 分布的定义：若  X i ∼ x 2 ( n 1 ) X\_i \\sim x^2(n\_1) Xi∼x2(n1)； Y i ∼ x 2 ( n 2 ) Y\_i \\sim x^2(n\_2) Yi∼x2(n2)，那么： X i / n 1 Y i / n 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) \\frac\{X\_i/n\_1\}\{Y\_i/n\_2\} \\sim F(n\_1, n\_2) Yi/n2Xi/n1∼F(n1,n2)

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# 二、启航—— 一波定理来袭 #

好！我们准备好了所需要的定理和性质之后，我们下面来看看正态总体下的抽样分布的定理：

## 2.1 一个正态总体 ##

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【1】若  X i ∼ N ( μ , σ 2 ) X\_i \\sim N(μ, σ^2) Xi∼N(μ,σ2)，且  X i X\_i Xi 相互独立，那么，有： X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \\bar\{X\} \\sim N(μ, \\frac\{σ^2\}\{n\}) Xˉ∼N(μ,nσ2)

我们下面来简单证明一下：首先明确，正态分布的第一个参数是期望（均值），第二个参数是方差。  
由于  X ˉ = X 1 + X 2 + ⋯ + X n n \\bar\{X\} = \\frac\{X\_1 +X\_2 + \\cdots + X\_n\}\{n\} Xˉ=nX1\+X2\+⋯\+Xn  
因此， E ( X ˉ ) = 1 n E ( ∑ i = 1 n X i ) = 1 n ∑ i = 1 n E ( X i ) = 1 n n μ = μ E(\\bar\{X\})=\\frac\{1\}\{n\}E(\\sum\_\{i=1\}^nX\_i ) =\\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i=1\}^nE(X\_i) =\\frac\{1\}\{n\}nμ = μ E(Xˉ)=n1E(∑i=1nXi)=n1∑i=1nE(Xi)=n1nμ=μ  
 D ( X ˉ ) = 1 n 2 D ( ∑ i = 1 n X i ) D(\\bar\{X\}) =\\frac\{1\}\{n^2\}D(\\sum\_\{i=1\}^nX\_i) D(Xˉ)=n21D(∑i=1nXi)，**这里需要特别注意：只有当  X i X\_i Xi 相互独立时，方差里面的  ∑ \\sum ∑ 才可以提出来，其他情况是不允许的！！**

因此，在  X i X\_i Xi 相互独立的情况下，有： D ( X ˉ ) = 1 n 2 ∑ i = 1 n D ( X i ) = 1 n 2 n σ 2 = σ 2 n D(\\bar\{X\}) = \\frac\{1\}\{n^2\}\\sum\_\{i=1\}^nD(X\_i) = \\frac\{1\}\{n^2\}nσ^2 = \\frac\{σ^2\}\{n\} D(Xˉ)=n21∑i=1nD(Xi)=n21nσ2=nσ2

【2】这个定理大家要记住： ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ x 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{σ^2\}\\sim x^2(n-1) σ2(n−1)S2∼x2(n−1)  
这里， S 2 S^2 S2是修正后的样本方差： S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2 = \\frac\{1\}\{n-1\}\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i - \\bar\{X\})^2 S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)2

**特别注意：定理里面它所服从的卡方分布的自由度是 n-1 ！！！**

【3】下面这个定理需要记忆： 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ x 2 ( n ) \\frac\{1\}\{σ^2\}\\sum\_\{i=1\}^n(X\_i - μ)^2 \\sim x^2(n) σ21i=1∑n(Xi−μ)2∼x2(n)

这个定理的样子看起来和定理 【2】 很像，但是这个是减去 **总体的均值**μ而非样本均值  X ˉ \\bar\{X\} Xˉ。我们证明一下，将上式做下面的变换： ∑ i = 1 n ( X i − μ σ ) 2 \\sum\_\{i=1\}^n(\\frac\{X\_i - μ\}\{σ\})^2 i=1∑n(σXi−μ)2  
我们已经知道： X i − μ σ \\frac\{X\_i - μ\}\{σ\} σXi−μ 就是一个标准化的过程，那么有： X i − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{X\_i - μ\}\{σ\} \\sim N(0,1) σXi−μ∼N(0,1)  
而根据  x 2 x^2 x2 分布的定义， n n n 个服从标准正态分布的  X i X\_i Xi 的加和就服从  x 2 x^2 x2 分布，得证。

【4】这个定理也需要记忆： X ˉ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) \\frac\{\\bar\{X\} - μ\}\{S\}\\sqrt\{n\} \\sim t(n-1) SXˉ−μn∼t(n−1)  
下面我们来证明一下：首先，根据定理 【1】： X ˉ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \\bar\{X\} \\sim N(μ, \\frac\{σ^2\}\{n\}) Xˉ∼N(μ,nσ2)，那么我们对  X ˉ \\bar\{X\} Xˉ 做标准化，有： X ˉ − μ σ 2 n = n X ˉ − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\bar\{X\} - μ\}\{\\sqrt\{\\frac\{σ^2\}\{n\}\}\} = \\sqrt\{n\}\\frac\{\\bar\{X\} - μ\}\{σ\} \\sim N(0,1) nσ2Xˉ−μ=nσXˉ−μ∼N(0,1)  
又根据定理 【2】： ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ t ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{σ^2\} \\sim t(n-1) σ2(n−1)S2∼t(n−1)  
最后，我们再把  t t t 分布的定义搬出来： X Y / n ∼ t ( n ) \\frac\{X\}\{\\sqrt\{Y/n\}\} \\sim t(n) Y/nX∼t(n)  
那么，我们就可以得到： n X ˉ − μ σ ( ( n − 1 ) S 2 σ 2 ) / ( n − 1 ) = n X ˉ − μ σ S 2 σ 2 = X ˉ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) \\frac\{\\sqrt\{n\}\\frac\{\\bar\{X\} - μ\}\{σ\}\}\{\\sqrt\{(\\frac\{(n-1)S^2\}\{σ^2\})/(n-1)\}\}=\\frac\{\\sqrt\{n\}\\frac\{\\bar\{X\} - μ\}\{σ\}\}\{\\sqrt\{\\frac\{S^2\}\{σ^2\}\}\} = \\frac\{\\bar\{X\} - μ\}\{S\}\\sqrt\{n\} \\sim t(n-1) (σ2(n−1)S2)/(n−1)nσXˉ−μ=σ2S2nσXˉ−μ=SXˉ−μn∼t(n−1)

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## 2.2 两个正态总体 ##

两个正态总体的定理有一、、难记忆，大家克服一下！

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【1】对于两个正态总体： X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) X\\sim N(μ\_1 ,σ\_1^2) X∼N(μ1,σ12)、 Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) Y \\sim N(μ\_2, σ\_2^2) Y∼N(μ2,σ22)， \{ X 1 , X 2 , ⋯   , X n 1 \} \\\{X\_1, X\_2, \\cdots, X\_\{n\_1\}\\\} \{ X1,X2,⋯,Xn1\}是第一个总体的样本、 \{ Y 1 , Y 2 , ⋯   , Y n 2 \} \\\{Y\_1, Y\_2, \\cdots, Y\_\{n\_2\}\\\} \{ Y1,Y2,⋯,Yn2\}是第二个总体的样本。其中， n 1 n\_1 n1 不一定等于  n 2 n\_2 n2。那么有： ( X ˉ − Y ˉ ) − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{(\\bar\{X\} - \\bar\{Y\}) - (μ\_1 - μ\_2)\}\{\\sqrt\{\\frac\{σ\_1^2\}\{n\_1\} + \\frac\{σ\_2^2\}\{n\_2\}\}\} \\sim N(0,1) n1σ12\+n2σ22(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)∼N(0,1)  
别看定理很复杂，其实很容易证明，首先： X ˉ ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 n 1 ) \\bar\{X\} \\sim N(μ\_1, \\frac\{σ\_1^2\}\{n\_1\}) Xˉ∼N(μ1,n1σ12)， Y ˉ ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 n 2 ) \\bar\{Y\} \\sim N(μ\_2, \\frac\{σ\_2^2\}\{n\_2\}) Yˉ∼N(μ2,n2σ22)，那么，根据正态分布的加减性质： X ˉ − Y ˉ ∼ N ( ( μ 1 − μ 2 ) , σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ) \\bar\{X\} - \\bar\{Y\} \\sim N((μ\_1 - μ\_2), \\frac\{σ\_1^2\}\{n\_1\} + \\frac\{σ\_2^2\}\{n\_2\}) Xˉ−Yˉ∼N((μ1−μ2),n1σ12\+n2σ22)  
最后，对它标准化一下就整出来啦！！

【2】这个性质大家需要记忆一下： S 1 / σ 1 2 S 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \\frac\{S\_1/σ\_1^2\}\{S\_2/σ\_2^2\} \\sim F(n\_1-1, n\_2-1) S2/σ22S1/σ12∼F(n1−1,n2−1)

这个定理的证明很简单，我们需要回顾一下上面在 2.2 的定理： ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ x 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n-1)S^2\}\{σ^2\}\\sim x^2(n-1) σ2(n−1)S2∼x2(n−1)  
那么，我们再把  F F F 分布的定义拿出来：若  X i ∼ x ( n 1 ) X\_i\\sim x^(n\_1) Xi∼x(n1)， Y ∼ x 2 ( n 2 ) Y\\sim x^2(n\_2) Y∼x2(n2)，那么： X i / n 1 Y / n 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) \\frac\{X\_i/n\_1\}\{Y/n\_2\} \\sim F(n\_1, n\_2) Y/n2Xi/n1∼F(n1,n2)  
所以，我们套用一下 F 分布的定义就可以得到啦！

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