mathematica-基于函数编程

秒速五厘米 2023-03-14 10:59 5阅读 0赞

# 前言 #

Mathematica基于过程的编程结构只是一个门面：内部更深层次的，是函数编程语言。

函数式编程范式中，函数和数据是没有区别的。函数可以和其他数据一样操控，包括作为参数和作为返回值。可以写个程序书写其他程序并且执行它们。这也是为何函数编程在人工智能领域如此流行的原因：它允许创造能在运行时修改它们行为的程序。

另外，函数程序没有赋值语句和循环。作为赋值的代替，数据严格通过函数调用和返回移动。作为循环的代替，高级函数作用函数到数据集合，或者使用递归。因为函数编程和过程编程如此不同，需要更多努力才能掌握，但是回报是产出优雅，精确和强大的程序的能力。

# 基本函数编程 #

## Map和Apply ##

Map作用函数于表达式的每个子表达式并返回结果。Apply作用函数于表达式的所有子表达式一次并返回结果。

## 纯函数 ##

使用Function定义纯函数：

Function[{x,y,...},body]

也可以使用简写形式（\#表示参数，\#1第一个参数，\#2第二个参数，依次类推，&表示函数）：

Sqrt[#]&

上面的表达式表示\#的平方根函数。

## 层级指定 ##

Level可以指定表达式的层级：

Level[list,lev]

lev的表示规则如下：

*  n表示1到n
 *  \{n\}表示仅n层

## MapAt ##

作用函数于表达式指定位置的子表达式。

# 同一个主题的变体 #

Map有很多的变体。

## MapThread和Thread ##

## MapIndexed ##

## Through ##

## Scan ##

# 迭代函数 #

给定迭代次数或者直到条件满足为止。

## Nest ##

作用一个函数于返回值n次。

Nest[f,init,n]

## FixedPoint ##

重复作用一个函数于返回值直到结果不变为止。

FixedPoint[f,init]

## Fold ##

类似reduce，作用两个参数的函数于初始值和表达式的子表达式。

Fold[f,x,list]

## Throw&Catch ##

抛出和捕获提供了一种改变Mathematica计算执行流的机制。Mathematica包含函数，例如Break, Continue，和Return，用于改变或终止循环和过程的执行。不幸的是，这些函数不能用于退出任何函数迭代结构。例如，当下面定义的函数f被传递给NestList时，f中的返回表达式对计算没有明显的影响:

In[3]:= f[x_]:=(If[x>5,Return[x+1]];2x)
    NestList[f,1,6]
    Out[4]= {1,2,4,8,9,10,11}

这种行为的原因是返回导致f而不是NestList返回。如果有某种方法可以同时从多个函数返回，这将非常有用。这就是Throw和Catch的目的。

In[29]:= Clear[f]
    f[x_]:=(If[x>5,Throw[x+1]];2x)
    Catch[NestList[f,1,3]]		
    Out[31]= {1,2,4,8}

没有触发Throw，返回列表。

In[32]:= Catch[NestList[f,1,6]]
    Out[32]= 9

触发了Throw，返回Throw里面的表达式。

# 递归 #

分而治之是一种算法策略，通过将问题分解成一个或多个相同类型的小问题来解决问题。这个过程一直持续到所考虑的问题非常小，以至于它们的解决方案微不足道。然后将子解组合成原问题的解。

递归是函数调用自身的行为。支持递归的编程语言(一个包含几乎所有现代语言的类)使得分治算法的实现非常简单。这是因为递归机制自动处理子解决方案的组合。

## 基础 ##

毫无疑问，最著名的递归函数是阶乘:

In[34]:= Clear[fact]
    fact[n_Integer]:=If[n==0,1,n fact[n-1]]
    Array[fact,5]
    Out[36]= {1,2,6,24,120}

如您所见，事实函数调用自身。这样做没有任何问题，只要“buck”在某处停止(在本例中，当n变为0时)。

要递归地解决一个问题，你必须考虑两种情况：

1.  对于非平凡的情况，如何将问题简化为一个更小的问题(或几个更小的问题)。
2.  基本情况是什么必须有一种方法来停止递归。

## 在列表上递归 ##

### 反序排列 ###

In[44]:= Clear[rev];
    rev[s_List]:=If[s=={},{},Append[rev[Rest[s]],First[s]]];
    rev[{1,2,3,4,5}]
    Out[46]= {5,4,3,2,1}

递归的伟大之处在于，所有这些混乱的东西都可以通过普通的函数调用机制进行跟踪。递归允许我们在一个非常高的层次上对分而治之的问题进行推理，而细节则自行处理。

### 最小值 ###

作为另一个简单的例子，这里有一个函数，它查找lis中的最小值。基本上，这个函数会查看列表中的前两个元素，然后在递归之前删除这两个元素中较小的那个。当只剩下一个元素时，它必须是最小值，因此返回它。

In[59]:= Clear[minimum];
    minimum[s_List]:=Which[
    	s=={},Infinity,
    	Length[s]==1,s[[1]],
    	s[[1]]>s[[2]],minimum[Drop[s,{1}]],
    	True,minimum[Drop[s,{2}]]
    ];
    minimum[{3,5,2,6,4}]
    Out[61]= 2

## 归并排序 ##

递归的一个更有趣的例子是用于排序列表的归并排序算法。

归并排序的策略是：

1.  将列表分成两个大小差不多相同的部分。
2.  递归地对每一块排序。
3.  合并已排序的块。

In[66]:= Clear[mergesort]
    mergesort[s_List]:=
    Switch[
    	Length[s],
    	0,{},
    	1,s,
    	_,With[{half=Quotient[Length[s],2]},
    	merge[mergesort[Take[s,half]],mergesort[Drop[s,half]]]
    	]
    ];
    merge[a_List,b_List]:=
    Which[
    	a=={},b,
    	b=={},a,
    	a[[1]]<b[[1]],Prepend[merge[Rest[a],b],a[[1]]],
    	True,Prepend[merge[Rest[b],a],b[[1]]]
    ];
    mergesort[{30,57,2,73,17,4,100,74,84,28,32,91}]
    Out[69]= {2,4,17,28,30,32,57,73,74,84,91,100}

# 操作表达式 #

非原子表达式的一般结构是head\[part1,…, partn\]，其中head和每个部分都是其他表达式，我们可以使用FullForm函数来探索各种表达式的内部表示，例如，

Plus[a,b]

## 下标表达式 ##

类似面对对象语言的get方法，获取对象的单个属性。

Part\[expre,\{i,j,…\}\]

In[71]:= (a/b)//FullForm
    Out[71]//FullForm= Times[a,Power[b,-1]]

In[72]:= (a/b)[[2,1]]
    Out[72]= b

使用Position查询子表达式的位置：

In[73]:= Position[(a/b),b]
    Out[73]= {
       {2,1}}

## 表达式层级 ##

类似面对对象语言获取对象的所有属性。

如下表达式的树状图表示：

{a,b,{c,d,{e,f,g}}}

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NzZWhz_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
第一层的所有子表达式（类似对象的所有字段）：

In[94]:= Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},{1}]
    Out[94]= {a,b,{c,d,{e,f,g}}}

第二层的所有子表达式：

In[95]:= Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},{2}]
    Out[95]= {c,d,{e,f,g}}

第三层的所有子表达式：

In[96]:= Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},{3}]
    Out[96]= {e,f,g}

1到1层的所有子表达式：

In[102]:= Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},1]
    Out[102]= {a,b,{c,d,{e,f,g}}}

1到2层的所有子表达式：

In[101]:= Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},2]
    Out[101]= {a,b,c,d,{e,f,g},{c,d,{e,f,g}}}

1到3层的所有子表达式：

In[103]:= Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},3]
    Out[103]= {a,b,c,d,e,f,g,{e,f,g},{c,d,{e,f,g}}}

等价于（把每一层的子表达式拼接起来）

In[104]:= Join[Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},{1}],Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},{2}],Level[{a,b,{c,d,{e,f,g}}},{3}]]
    Out[104]= {a,b,{c,d,{e,f,g}},c,d,{e,f,g},e,f,g}

## 表达式上的函数操作 ##

Map、Operate、Apply、MapAt等。

## 列表上的各种操作 ##

FullForm、Drop、Append、Take、Reverse、RotateLeft、Join等。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NzZWhz_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230312/66b0ec9b4cb5477f8312bdaa3a7515c7.png