李航《统计学习方法》学习笔记及python实现：第二章感知机-蒲公英云

感知机（perceptron）是二类分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1和–1二值。感知机对应于输入空间（特征空间）中将实例划分为正负两类的分离超平面，属于判别模型。感知机学习旨在求出将训练数据进行线性划分的分离超平面，为此，导入基于误分类的损失函数，利用梯度下降法对损失函数进行极小化，求得感知机模型。

模型

假设输入空间（特征空间）是x⊆Rn，输出空间是 Y＝{+1,-1}。输入x∊x表示实例的特征向量，对应于输入空间（特征空间）的点；输出y∊ Y表示实例的类别。由输入空间到输出空间的如下函数

在这里插入图片描述
称为感知机。
其中，w和b为感知机模型参数，w∊Rn叫作权值（weight）或权值向量（weight vector），b∊R叫作偏置（bias），w·x表示w和x的内积。sign是符号函数，即

在这里插入图片描述

目标

感知机学习的目标是求得一个能够将训练集正实例点和负实例点完全正确分开的分离超平面。

策略

定义（经验）损失函数并将损失函数极小化。

损失函数的另一个选择是误分类点到超平面S的总距离，这是感知机所采用的。

感知机sign(w·x+b)学习的损失函数定义为
在这里插入图片描述其中M为误分类点的集合。这个损失函数就是感知机学习的经验风险函数。

感知机学习的策略是在假设空间中选取使损失函数式 L(w,b) 最小的模型参数w,b，即感知机模型。

算法

感知机学习问题转化为求解损失函数式 L(w,b) 的最优化问题，最优化的方法是随机梯度下降法。
在这里插入图片描述
书中例题2.1

在这里插入图片描述

python实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.array([[3,3], [4,3], [1,1]])
y = np.array([1,1,-1])
plt.figure()
for i in range(len(x)):
    if y[i] == 1:
        plt.plot(x[i][0], x[i][1], 'ro')
    else:
        plt.plot(x[i][0], x[i][1], 'bo')
w = np.array([1,0])
b = 0
delta = 1
for i in range(100):
    choice = -1
    for j in range(len(x)):
        if y[j] != np.sign(np.dot(w,x[0]) + b):
            choice = j
            break
    if choice == -1:
        break
    w = w + delta * y[choice] * x[choice]
    b = b + delta * y[choice]
line_x = [0,10]
line_y = [0,0]
for i in range(len(line_x)):
    line_y[i] = (-w[0] * line_x[i] - b) / w[1]
plt.plot(line_x, line_y)
plt.savefig("picture.png")

在这里插入图片描述

Mnist数据集训练

此部分出处：

作者：chenxiangzhen
出处：https://www.cnblogs.com/chenxiangzhen/p/10515156.html

'''
数据集：Mnist
训练集数量：60000
测试集数量：10000
------------------------------
运行结果：
正确率：81.72%（二分类）
'''
import numpy as np
import time
def loadData(fileName):
    '''
    加载Mnist数据集
    :param fileName:要加载的数据集路径
    :return: list形式的数据集及标记
    '''
    print('start to read data')
    # 存放数据及标记的list
    dataArr = []
    labelArr = []
    # 打开文件
    fr = open(fileName, 'r')
    # 将文件按行读取
    for line in fr.readlines():
        # 对每一行数据按切割福','进行切割，返回字段列表
        curLine = line.strip().split(',')
        # Mnsit有0-9是个标记，由于是二分类任务，所以将>=5的作为1，<5为-1
        if int(curLine[0]) >= 5:
            labelArr.append(1)
        else:
            labelArr.append(-1)
        # 存放标记
        # [int(num) for num in curLine[1:]] -> 遍历每一行中除了以第一哥元素（标记）外将所有元素转换成int类型
        # [int(num)/255 for num in curLine[1:]] -> 将所有数据除255归一化(非必须步骤，可以不归一化)
        dataArr.append([int(num) / 255 for num in curLine[1:]])
    # 返回data和label
    return dataArr, labelArr
def perceptron(dataArr, labelArr, iter=50):
    '''
    感知器训练过程
    :param dataArr:训练集的数据 (list)
    :param labelArr: 训练集的标签(list)
    :param iter: 迭代次数，默认50
    :return: 训练好的w和b
    '''
    print('start to trans')
    # 将数据转换成矩阵形式（在机器学习中因为通常都是向量的运算，转换称矩阵形式方便运算）
    # 转换后的数据中每一个样本的向量都是横向的
    dataMat = np.mat(dataArr)
    # 将标签转换成矩阵，之后转置(.T为转置)。
    # 转置是因为在运算中需要单独取label中的某一个元素，如果是1xN的矩阵的话，无法用label[i]的方式读取
    # 对于只有1xN的label可以不转换成矩阵，直接label[i]即可，这里转换是为了格式上的统一
    labelMat = np.mat(labelArr).T
    # 获取数据矩阵的大小，为m*n
    m, n = np.shape(dataMat)
    # 创建初始权重w，初始值全为0。
    # np.shape(dataMat)的返回值为m，n -> np.shape(dataMat)[1])的值即为n，与
    # 样本长度保持一致
    w = np.zeros((1, np.shape(dataMat)[1]))
    # 初始化偏置b为0
    b = 0
    # 初始化步长，也就是梯度下降过程中的n，控制梯度下降速率
    h = 0.0001
    # 进行iter次迭代计算
    for k in range(iter):
        # 对于每一个样本进行梯度下降
        # 李航书中在2.3.1开头部分使用的梯度下降，是全部样本都算一遍以后，统一
        # 进行一次梯度下降
        # 在2.3.1的后半部分可以看到（例如公式2.6 2.7），求和符号没有了，此时用
        # 的是随机梯度下降，即计算一个样本就针对该样本进行一次梯度下降。
        # 两者的差异各有千秋，但较为常用的是随机梯度下降。
        for i in range(m):
            # 获取当前样本的向量
            xi = dataMat[i]
            # 获取当前样本所对应的标签
            yi = labelMat[i]
            # 判断是否是误分类样本
            # 误分类样本特诊为： -yi(w*xi+b)>=0，详细可参考书中2.2.2小节
            # 在书的公式中写的是>0，实际上如果=0，说明改点在超平面上，也是不正确的
            if -1 * yi * (w * xi.T + b) >= 0:
                # 对于误分类样本，进行梯度下降，更新w和b
                w = w + h * yi * xi
                b = b + h * yi
        # 打印训练进度
        print('Round %d:%d training' % (k, iter))
    # 返回训练完的w、b
    return w, b
def accuracy(dataArr, labelArr, w, b):
    '''
    测试准确率
    :param dataArr:测试集
    :param labelArr: 测试集标签
    :param w: 训练获得的权重w
    :param b: 训练获得的偏置b
    :return: 正确率
    '''
    print('start to test')
    # 将数据集转换为矩阵形式方便运算
    dataMat = np.mat(dataArr)
    # 将label转换为矩阵并转置，详细信息参考上文perceptron中
    # 对于这部分的解说
    labelMat = np.mat(labelArr).T
    # 获取测试数据集矩阵的大小
    m, n = np.shape(dataMat)
    # 错误样本数计数
    errorCnt = 0
    # 遍历所有测试样本
    for i in range(m):
        # 获得单个样本向量
        xi = dataMat[i]
        # 获得该样本标记
        yi = labelMat[i]
        # 获得运算结果
        result = -1 * yi * (w * xi.T + b)
        # 如果-yi(w*xi+b)>=0，说明该样本被误分类，错误样本数加一
        if result >= 0:
            errorCnt += 1
    # 正确率 = 1 - （样本分类错误数 / 样本总数）
    accruRate = 1 - (errorCnt / m)
    # 返回正确率
    return accruRate
if __name__ == '__main__':
    # 获取当前时间
    # 在文末同样获取当前时间，两时间差即为程序运行时间
    start = time.time()
    # 获取训练集及标签
    trainData, trainLabel = loadData('../Mnist/mnist_train.csv')
    # 获取测试集及标签
    testData, testLabel = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')
    # 训练获得权重
    w, b = perceptron(trainData, trainLabel, iter=30)
    # 进行测试，获得正确率
    accruRate = accuracy(testData, testLabel, w, b)
    # 获取当前时间，作为结束时间
    end = time.time()
    # 显示正确率
    print('accuracy rate is:', accruRate)
    # 显示用时时长
    print('time span:', end - start)

运行结果

start to read data
start to read data
start to trans
Round 0:30 training
Round 1:30 training
Round 2:30 training
Round 3:30 training
Round 4:30 training
Round 5:30 training
Round 6:30 training
Round 7:30 training
Round 8:30 training
Round 9:30 training
Round 10:30 training
Round 11:30 training
Round 12:30 training
Round 13:30 training
Round 14:30 training
Round 15:30 training
Round 16:30 training
Round 17:30 training
Round 18:30 training
Round 19:30 training
Round 20:30 training
Round 21:30 training
Round 22:30 training
Round 23:30 training
Round 24:30 training
Round 25:30 training
Round 26:30 training
Round 27:30 training
Round 28:30 training
Round 29:30 training
start to test
accuracy rate is: 0.8172
time span: 2366.2143952846527