程序员数学(22)–二次函数的图象与性质

阳光穿透心脏的1/2处 2023-07-06 08:42 1阅读 0赞

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### 本文目录 ###

*  1. 定义
 *  2. y=ax^2图象与性质
 *  3. y=a(x-h)^2+k图象和性质
 *   *  3.1 k值对图象的影响
     *  3.2 h值对图象的影响
     *  3.3 a值对图象的影响
 *  4. y=ax^2+bx+c图象与性质
 *  5. 二次函数与一元二次方程

# 1. 定义 #

形如：  
 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a\\neq0) y=ax2\+bx\+c(a=0)  
的函数，叫做`二次函数`，x是`自变量`，a、b、c分别是函数解析式的`二次项系数、一次项系数、常数项`。

# 2. y=ax^2图象与性质 #

先看下  
 y = x 2 y=x^2 y=x2  
对应的图象：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
因为二次函数的形状，像是抛一个铅球时空中的轨迹(上面的图是倒过来的轨迹，想象下)，所以一般二次函数的图像可称作`抛物线`。

从图中可以看出，y轴是抛物线的`对称轴`，抛物线与它的对称轴的交点(0,0)叫做`抛物线的顶点`。

然后我们来看下以下几个函数的图象：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
总结下规律，针对  
 y = a x 2 y=ax^2 y=ax2

*  a>0时，抛物线开口向上，a越大，抛物线开口越小。这是因为a越大，增长的越快。
 *  a<0时，抛物线开口往下，a越小，抛物线开口越小。a为负值时，x越大，函数值就越小。

# 3. y=a(x-h)^2+k图象和性质 #

## 3.1 k值对图象的影响 ##

先来对比下以下几个函数图象：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
发现，y=a(x-h)^2+k中，当k+1时，图象向上平移1个单位，k-1时，图象向下平移一个单位。

## 3.2 h值对图象的影响 ##

对比图中几个函数，看下公式：  
 a ( x − h ) 2 + k a(x-h)^2+k a(x−h)2\+k  
h变化对图象的影响  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
可以发现，当h+1时，图象右移1个单位，h-1时，图象左移一个单位。

## 3.3 a值对图象的影响 ##

对比图中几个函数，看下公式：  
 a ( x − h ) 2 + k a(x-h)^2+k a(x−h)2\+k  
a变化对图象的影响  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
可以看出，a的正负值影响了抛物线的开口方向，a的绝对值影响了抛物线的开口大小。

# 4. y=ax^2+bx+c图象与性质 #

通过配方法，可以将y=ax^2+bx+c转换为：  
 y = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a y=a\{(x+\\frac b\{2a\})\}^2+\\frac\{4ac-b^2\}\{4a\} y=a(x\+2ab)2\+4a4ac−b2  
所以推出有以下性质：

对称轴为：  
 x = − b 2 a x=-\\frac b\{2a\} x=−2ab  
顶点为  
 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\\frac b\{2a\},\\frac\{4ac-b^2\}\{4a\}) (−2ab,4a4ac−b2)

# 5. 二次函数与一元二次方程 #

这个简单，一元二次方程实际上是二次函数当y=0时的特例。  
具体到图象上，一元二次方程的解就是二次函数与x轴的交点坐标值。  
如下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

[Link 1]: https://studyingpanda.blog.csdn.net/article/details/105329926
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200217092715440.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dvc2hpc2FuZ3Nhbmc=,size_16,color_FFFFFF,t_70
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