数学基础回顾(1) ---- 基本初等函数性质

Love The Way You Lie 2024-03-16 22:17 68阅读 0赞

### 1. 函数的定义和性质 ###

#### 1.1 函数定义 ####

假设 ![A,B][A_B]都是两个非空的数集，如果按照某种映射规则 ![f][]，对于集合中的任何一个数 ![x][]，在集合![B][] 中都有一个唯一确定的数 ![f(x)][f_x]和它对应，那么这样的对应（包括集合 A，集合B 以及 A到B的对应法则f叫做集合 ![A][] 到 集合![B][] 的一个函数，记作*![f A:B][f A_B]*。

**注意如果一个![x][] 有两个 ![y][] 与之对应，那么 ![x][] 和 ![y][] 就不够成函数关系**

**![4e5338ceaba847429394aa1d529f061a.jpeg][]**

####  1.2 函数性质 ####

函数的三要素：**定义域，值域和对应法则**

函数的表示方法：解析法，图像法和列表法

*  解析法：用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系（使用***函数解析式表达***）
 *  列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系（程序中使用）
 *  图像法：用图像来表示两个变量之间的对应关系（解析几何中）

函数的定义域和值域：

![57c85c8cf0d94ebc92d57687b889eb60.jpeg][]

函数的区间表示方法：

![018de501863841c584ae4c13b51087ce.jpeg][]

函数的单调性：

如果函数 ![f(x)][f_x] 对区间 D内的任意 ![x1][]，![x2][]

当 ![x1][] < ![x2][] 时都有![f(x1) < f(x2)][f_x1_ _ f_x2]，则 ![f(x)][f_x] 在 ![D][] 内是增函数，

当 ![x1][] < ![x2][] 时都有![f(x1) > f(x2)][f_x1_ _ f_x2 1]，则 ![f(x)][f_x] 在 ![D][] 内是减函数，

假设 ![f(x)][f_x] 在某区间 ![D][] 内可导，若 ![f'(x) > 0][f_x_ _ 0] 则 ![f(x)][f_x]是 D内的增函数；若 ![f'(x) < 0][f_x_ _ 0 1] 则 ![f(x)][f_x]是 D内的减函数

函数的奇偶性：

奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

### 2. 幂函数 ###

幂函数是指 ![y=x^a][y_x_a] (a为常数) 的函数，以**底数为自变量，幂为因变量**，指数位常数的函数称为幂函数。

![y=x^a][y_x_a]

幂函数的性质：

幂函数的图像最多出现在**两个象限，不经过第四象限**，如果和坐标轴相交，焦点一定是坐标原点。

如果 a < 0，那么函数一定不经过坐标原点，因为分母为 0 没有意义。

所有的幂函数在（0，+无穷大）都有定义，并且图像都经过 （1,1）点

当 ![a>=1][a_1] 并且 a 是奇数时，函数是奇函数；比如 ![a^3 a^2][a_3 a_2]

当 ![a>=1][a_1] 并且 a 是偶数时，函数是偶函数；

幂函数图像：

![70692e3cd36f4eb38493994ae095dc2f.jpeg][]

### 3. 指数函数 ###

函数 ![y=a^x][y_a_x] (a >0 ，并且 a 不等于1)叫做指数函数，自变量 ![x][] 叫做指数，![a][] 叫做底数，函数的定义域叫做 ![R][]

函数图像：

![6b5a358f8e864da38a57d1470c3ebec7.png][]

指数函数的**自变量为幂指数，幂函数的自变量为底数**

指数函数的函数值恒大于 0，定义域为 R，值域为 0，无穷大

指数函数图像都经过![(0,1)][0_1] 点

当 ![a>1][a_1 1] 时，指数函数在 R 上递增，当![0<a<1][0_a_1] 时，指数函数在 R 上递减。

指数函数在某一方向上无限接近于 ![x][] 轴，并且永不相交

指数函数是非奇非偶函数，指数函数具有**反函数，其反函数是对数函数**。

### 4. 对数函数 ###

一般地，函数 ![y\\ =\{log\}\_a^x][y_ _log_a_x] (a > 0 且 a 不等于1) 叫做对数函数，也就是以 幂（真数为自变量），指数为因变量，底数为常数的函数，叫做对数函数。

![519ae9fcfeab4b8ab2e62cb517efba91.png][]

对数函数的定义域是 ![x>0][x_0]

对数函数的图像恒定经过 1，0 点，零点的位置为 （1,0）

当 ![a>1][a_1 1]时，在定义域上是单调增函数，当 ![0<a<1][0_a_1]时，在定义域上是单调减函数

注意的是：

对数函数 ![y\\ =\{log\}\_a^x][y_ _log_a_x] （a>0 并且 a 不等于 1）就是指数函数 ![y=a^x][y_a_x] 的反函数，

因为指数函数的值域 （a>0 并且 a 不等于 1）是 0 到正无穷，所以对数函数的定义域是 0 到正无穷

对数的运算性质：

![a33bc69d02ca4829a1bdd1bc2084e5a2.jpeg][]

### 5. 三角函数 ###

三角函数的性质如下：

![c0eb6f4687544a52b05a804ad802ff41.jpeg][]

[A_B]: https://latex.csdn.net/eq?A%2CB
[f]: https://latex.csdn.net/eq?f
[x]: https://latex.csdn.net/eq?x
[B]: https://latex.csdn.net/eq?B
[f_x]: https://latex.csdn.net/eq?f%28x%29
[A]: https://latex.csdn.net/eq?A
[f A_B]: https://latex.csdn.net/eq?f%20A%3AB
[y]: https://latex.csdn.net/eq?y
[4e5338ceaba847429394aa1d529f061a.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/00cb315122c8406f9e20e4a63fd363d0.png
[57c85c8cf0d94ebc92d57687b889eb60.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/066ec01b93ee448290144abf9841a4ce.png
[018de501863841c584ae4c13b51087ce.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/489fb2e1d1f84ddb92895aa2e205e25c.png
[x1]: https://latex.csdn.net/eq?x1
[x2]: https://latex.csdn.net/eq?x2
[f_x1_ _ f_x2]: https://latex.csdn.net/eq?f%28x1%29%20%3C%20f%28x2%29
[D]: https://latex.csdn.net/eq?D
[f_x1_ _ f_x2 1]: https://latex.csdn.net/eq?f%28x1%29%20%3E%20f%28x2%29
[f_x_ _ 0]: https://latex.csdn.net/eq?f%27%28x%29%20%3E%200
[f_x_ _ 0 1]: https://latex.csdn.net/eq?f%27%28x%29%20%3C%200
[y_x_a]: https://latex.csdn.net/eq?y%3Dx%5Ea
[a_1]: https://latex.csdn.net/eq?a%3E%3D1
[a_3 a_2]: https://latex.csdn.net/eq?a%5E3%20a%5E2
[70692e3cd36f4eb38493994ae095dc2f.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/175886fc1d774ef5ae8f99e3331536e6.png
[y_a_x]: https://latex.csdn.net/eq?y%3Da%5Ex
[a]: https://latex.csdn.net/eq?a
[R]: https://latex.csdn.net/eq?R
[6b5a358f8e864da38a57d1470c3ebec7.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/d2cc48d3d9e44433817a814beab1217b.png
[0_1]: https://latex.csdn.net/eq?%280%2C1%29
[a_1 1]: https://latex.csdn.net/eq?a%3E1
[0_a_1]: https://latex.csdn.net/eq?0%3Ca%3C1
[y_ _log_a_x]: https://latex.csdn.net/eq?y%5C%20%3D%7Blog%7D_a%5Ex
[519ae9fcfeab4b8ab2e62cb517efba91.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/a8d8e7a0f5e24c709125aeb06dd0a9e0.png
[x_0]: https://latex.csdn.net/eq?x%3E0
[a33bc69d02ca4829a1bdd1bc2084e5a2.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/ef84634aea8343b695daad112ef0e21f.png
[c0eb6f4687544a52b05a804ad802ff41.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/03/15/7488965f23564ad0978ffe2ce5f3b765.png