数学基础回顾(1) ---- 基本初等函数性质

Love The Way You Lie 2024-03-16 22:17 129阅读 0赞

1. 函数的定义和性质

1.1 函数定义

假设 A,B都是两个非空的数集，如果按照某种映射规则 f，对于集合中的任何一个数 x，在集合B 中都有一个唯一确定的数 f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合 A，集合B 以及 A到B的对应法则f叫做集合 A 到 集合B 的一个函数，记作f A:B。

注意如果一个x 有两个 y 与之对应，那么 x 和 y 就不够成函数关系

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1.2 函数性质

函数的三要素：定义域，值域和对应法则

函数的表示方法：解析法，图像法和列表法

  • 解析法：用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系（使用函数解析式表达）
  • 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系（程序中使用）
  • 图像法：用图像来表示两个变量之间的对应关系（解析几何中）

函数的定义域和值域：

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函数的区间表示方法：

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函数的单调性：

如果函数 f(x) 对区间 D内的任意 x1，x2

当 x1 < x2 时都有f(x1) < f(x2)，则 f(x) 在 D 内是增函数，

当 x1 < x2 时都有f(x1) > f(x2)，则 f(x) 在 D 内是减函数，

假设 f(x) 在某区间 D 内可导，若 f'(x) > 0 则 f(x)是 D内的增函数；若 f'(x) < 0 则 f(x)是 D内的减函数

函数的奇偶性：

奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。

2. 幂函数

幂函数是指 y=x^a (a为常数) 的函数，以底数为自变量，幂为因变量，指数位常数的函数称为幂函数。

y=x^a

幂函数的性质：

幂函数的图像最多出现在两个象限，不经过第四象限，如果和坐标轴相交，焦点一定是坐标原点。

如果 a < 0，那么函数一定不经过坐标原点，因为分母为 0 没有意义。

所有的幂函数在（0，+无穷大）都有定义，并且图像都经过 （1,1）点

当 a>=1 并且 a 是奇数时，函数是奇函数；比如 a^3 a^2

当 a>=1 并且 a 是偶数时，函数是偶函数；

幂函数图像：

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3. 指数函数

函数 y=a^x (a >0 ，并且 a 不等于1)叫做指数函数，自变量 x 叫做指数，a 叫做底数，函数的定义域叫做 R

函数图像：

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指数函数的自变量为幂指数，幂函数的自变量为底数

指数函数的函数值恒大于 0，定义域为 R，值域为 0，无穷大

指数函数图像都经过(0,1) 点

当 a>1 时，指数函数在 R 上递增，当0<a<1 时，指数函数在 R 上递减。

指数函数在某一方向上无限接近于 x 轴，并且永不相交

指数函数是非奇非偶函数，指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。

4. 对数函数

一般地，函数 y\\ =\{log\}\_a^x (a > 0 且 a 不等于1) 叫做对数函数，也就是以 幂（真数为自变量），指数为因变量，底数为常数的函数，叫做对数函数。

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对数函数的定义域是 x>0

对数函数的图像恒定经过 1，0 点，零点的位置为 （1,0）

当 a>1时，在定义域上是单调增函数，当 0<a<1时，在定义域上是单调减函数

注意的是：

对数函数 y\\ =\{log\}\_a^x （a>0 并且 a 不等于 1）就是指数函数 y=a^x 的反函数，

因为指数函数的值域 （a>0 并且 a 不等于 1）是 0 到正无穷，所以对数函数的定义域是 0 到正无穷

对数的运算性质：

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5. 三角函数

三角函数的性质如下：

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