Java数据结构与算法_09 树结构实际应用（堆排序、哈夫曼树、二叉排序树、平衡二叉树）

Love The Way You Lie 2023-07-13 13:38 23阅读 0赞

### Java数据结构与算法\_09 树结构实际应用 ###

*  堆排序
 *   *  完整代码
 *  哈夫曼树(Huffman Tree)
 *   *  完整代码
 *  哈夫曼编码(Huffman Coding)
 *  二叉排序树
 *   *  完整代码
 *  平衡二叉树(AVL树)
 *   *  完整代码

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***本人是个新手，写下博客用于自我复习、自我总结。  
如有错误之处，请各位大佬指出。  
学习资料来源于：尚硅谷***

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# 堆排序 #

**基本介绍：**

1.  堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏、最好、平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。
2.  堆是具有以下性质的**完全二叉树**：  
    每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；  
    每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。  
    **注意 :** 没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。
3.  一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆 。

比如：  
![在这里插入图片描述][20200312135031541.png]  
我们对堆中的结点按层进行编号，映射到数组中就是下面这个样子:  
![在这里插入图片描述][2020031213511356.png]  
大顶堆特点：arr\[i\] >= arr\[2i+1\] && arr\[i\] >= arr\[2i+2\] // i 对应第几个节点，i从0开始编号

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
同理，对于小顶堆：  
小顶堆：arr\[i\] <= arr\[2i+1\] && arr\[i\] <= arr\[2i+2\] // i 对应第几个节点，i从0开始编号

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堆排序的**基本思想**是：（升序采用大顶堆，降序采用小顶堆）

1.  如果要将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
2.  将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
3.  然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列。

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示例：一个数组 \{4,6,8,5,9\} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

说明：  
堆排序的速度非常快， 8百万数据 3 秒左右。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

## 完整代码 ##

import java.text.SimpleDateFormat;
    import java.util.Arrays;
    import java.util.Date;
    
    public class HeapSort { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		// 将数组进行升序排序
    		int arr[] = {  4, 6, 8, 5, 9 };
    		System.out.println("排序前=" + Arrays.toString(arr));
    		heapSort(arr);
    		System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(arr));
    
    		// 创建有8000000个随机数的数组
    		int[] arr1 = new int[8000000];
    		for (int i = 0; i < 8000000; i++) { 
    			arr1[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
    		}
    
    		Date data1 = new Date();
    		SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat(
    				"yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
    		String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
    		System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
    
    		heapSort(arr1);
    
    		Date data2 = new Date();
    		String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
    		System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
    	}
    
    	// 编写一个堆排序的方法
    	public static void heapSort(int arr[]) { 
    		int temp = 0;
    
    		// 将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
    		// 1)找出堆中最大数，放在顶端
    		// 同时，能把每个分支比较大的数，都放在每个分支的顶端
    		// 这样为以后的比较做了很好的保证
    		for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) { 
    			adjustHeap(arr, i, arr.length);
    		}
    
    		/* * 2)将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端; 　　 * 3)重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素。 * 反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。 */
    		for (int j = arr.length - 1; j > 0; j--) { 
    			// 交换
    			temp = arr[j];
    			arr[j] = arr[0];
    			arr[0] = temp;
    			adjustHeap(arr, 0, j);
    		}
    
    	}
    
    	// 将一个数组(二叉树), 调整成一个大顶堆
    	/** * 功能： 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆 * * @param arr * 待调整的数组 * @param i * 表示非叶子结点在数组中索引 * @param length * 表示对多少个元素继续调整， length 是在逐渐的减少 */
    	public static void adjustHeap(int arr[], int i, int length) { 
    
    		int temp = arr[i];// 先取出当前元素的值，保存在临时变量
    		// k = i * 2 + 1 是 i结点的左子结点
    		for (int k = i * 2 + 1; k < length; k = k * 2 + 1) { 
    			// 说明左子结点的值小于右子结点的值
    			if (k + 1 < length && arr[k] < arr[k + 1]) { 
    				k++; // k 指向右子结点
    			}
    			if (arr[k] > temp) {  // 如果子结点大于父结点
    				arr[i] = arr[k]; // 把较大的值赋给当前结点
    				i = k; // i 指向 k,继续循环比较
    			} else { 
    				break;
    			}
    		}
    		// 当for循环结束后，我们已经将以i为父结点的树的最大值，放在了最顶(局部)
    		arr[i] = temp;// 将temp值放到调整后的位置
    	}
    
    }

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# 哈夫曼树(Huffman Tree) #

**基本介绍：**

1.  给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。
2.  哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

**哈夫曼树的几个重要概念和举例说明：**

**1) 路径和路径长度：**  
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

**2) 结点的权及带权路径长度：**  
若给树中结点赋一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权或权值。从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积称为结点的带权路径长度。

**3) 树的带权路径长度：**  
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) 。WPL最小的就是赫夫曼树。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
**示例：**

给你一个数列 \{13, 7, 8, 3, 29, 6, 1\}，要求转成一颗赫夫曼树.

**构成哈夫曼树的步骤：**

1.  对数列从小到大进行排序，每个数据都是一个节点，每个节点都可以看成是一颗最简单的二叉树
2.  取出根节点权值最小的两颗二叉树
3.  将它们组成一颗新的二叉树。该新的二叉树的根节点的权值是前面两颗二叉树根节点权值的和
4.  再将这颗新的二叉树，以根节点的权值大小 再次排序， 不断重复 1-2-3-4 的步骤，直到数列中，所有的数据都被处理，就得到一颗哈夫曼树

根据上述步骤，首先对其排序，得到：  
1, 3, 6, 7, 8, 13, 29

之后不断选取最小的两个值累加，将得到的新值放入数列中，再次排序。不断重复，最后就可得到结果。这个结果就是最短的带权路径长度，这个过程形成的树，就是哈夫曼树。

第一步：  
![在这里插入图片描述][20200312192546597.png]  
数列：4,6,7,8,13,29

第二步：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
数列：7,8,10,13,29

第三步：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
数列：10,13,15,29

第四步：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
数列：15,23,29

第五步：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
数列：29,38

第六步：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

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## 完整代码 ##

import java.util.ArrayList;
    import java.util.Collections;
    import java.util.List;
    
    public class HuffmanTree { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    
    		int arr[] = {  13, 7, 8, 3, 29, 6, 1 };
    		Node root = createHuffmanTree(arr);
    
    		// 测试
    		preOrder(root);
    
    	}
    
    	// 编写一个前序遍历的方法
    	public static void preOrder(Node root) { 
    		if (root != null) { 
    			root.preOrder();
    		} else { 
    			System.out.println("是空树，不能遍历~~");
    		}
    	}
    
    	// 创建赫夫曼树的方法
    	/** * @param arr * 需要创建成哈夫曼树的数组 * @return 创建好后的赫夫曼树的root结点 */
    	public static Node createHuffmanTree(int[] arr) { 
    
    		// 1. 遍历 arr 数组
    		// 2. 将arr的每个元素构成成一个Node
    		// 3. 将Node 放入到ArrayList中
    		List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
    		for (int value : arr) { 
    			nodes.add(new Node(value));
    		}
    
    		// 我们处理的过程是一个循环的过程
    		while (nodes.size() > 1) { 
    
    			// 排序 从小到大
    			Collections.sort(nodes);
    
    			// System.out.println("nodes =" + nodes);
    
    			// 取出根节点权值最小的两颗二叉树
    			// (1) 取出权值最小的结点（二叉树）
    			Node leftNode = nodes.get(0);
    			// (2) 取出权值第二小的结点（二叉树）
    			Node rightNode = nodes.get(1);
    
    			// (3)构建一颗新的二叉树
    			Node parent = new Node(leftNode.value + rightNode.value);
    			parent.left = leftNode;
    			parent.right = rightNode;
    
    			// (4)从ArrayList删除处理过的二叉树
    			nodes.remove(leftNode);
    			nodes.remove(rightNode);
    			// (5)将parent加入到nodes
    			nodes.add(parent);
    		}
    
    		// 返回哈夫曼树的root结点
    		return nodes.get(0);
    
    	}
    }
    
    // 创建结点类
    // 为了让Node对象，使用Collections的集合排序 => 让Node实现Comparable接口
    class Node implements Comparable<Node> { 
    	int value; // 结点权值
    	char c; // 字符
    	Node left; // 指向左子结点
    	Node right; // 指向右子结点
    
    	// 前序遍历
    	public void preOrder() { 
    		System.out.println(this);
    		if (this.left != null) { 
    			this.left.preOrder();
    		}
    		if (this.right != null) { 
    			this.right.preOrder();
    		}
    	}
    
    	public Node(int value) { 
    		this.value = value;
    	}
    
    	@Override
    	public String toString() { 
    		return "Node [value=" + value + "]";
    	}
    
    	@Override
    	public int compareTo(Node o) { 
    		// TODO Auto-generated method stub
    		// 表示从小到大排序
    		return this.value - o.value;
    	}
    
    }

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# 哈夫曼编码(Huffman Coding) #

**基本介绍**

1.  哈夫曼编码(Huffman Coding)，又称霍夫曼编码，是一种编码方式， 属于一种程序算法；
2.  哈夫曼编码是哈夫曼树在电讯通信中的经典的应用之一；
3.  哈夫曼编码广泛地用于数据文件压缩。其压缩率通常在20%～90%之间；
4.  哈夫曼编码是可变字长编码(VLC)的一种。

**原理剖析**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

在线转码 工具 ：[https://www.mokuge.com/tool/asciito16/][https_www.mokuge.com_tool_asciito16]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

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![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
根据构建的哈夫曼树，给各个字符,规定编码 (前缀编码)， 向左的路径为0 向右的路径为1 ， 编码如下:  
![在这里插入图片描述][20200312210441773.png]  
按照上面的赫夫曼编码，我们的"i like like like java do you like a java" 字符串对应的编码为 (注意这里我们使用的无损压缩)  
1010100110111101111010011011110111101001101111011110100001100001110011001111000011001111000100100100110111101111011100100001100001110 通过赫夫曼编码处理 长度为 133

**说明:**

1.  原来长度是 359 , 压缩了 (359-133) / 359 = 62.9%
2.  此编码满足前缀编码, 即字符的编码都不能是其他字符编码的前缀。不会造成匹配的多义性赫夫曼编码是无损处理方案。

**注意**, 这个赫夫曼树根据排序方法不同，也可能不太一样，这样对应的赫夫曼编码也不完全一样，但是wpl 是一样的，都是最小的, 比如: 如果我们让每次生成的新的二叉树总是排在权值相同的二叉树的最后一个，则生成的二叉树为:  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

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# 二叉排序树 #

现在假如，给出一个数列 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9)，要求能够高效的完成对数据的查询和添加。

**解决方案分析：**

**①使用数组**

1.  数组未排序， 优点：直接在数组尾添加，速度快。 缺点：查找速度慢.
2.  数组排序，优点：可以使用二分查找，查找速度快。缺点：为了保证数组有序，在添加新数据时，找到插入位置后，后面的数据需整体移动，速度慢。

**②使用链式存储-链表**

不管链表是否有序，查找速度都慢，添加数据速度比数组快，不需要数据整体移动。

**③使用二叉排序树**

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**二叉排序树介绍：**

二叉排序树：BST: (Binary Sort(Search) Tree)。对于二叉排序树的任何一个非叶子节点，要求左子节点的值比当前节点的值小，右子节点的值比当前节点的值大。

**特别说明：** 如果有相同的值，可以将该节点放在左子节点或右子节点

比如针对前面的数据 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9) ，对应的二叉排序树为：

![在这里插入图片描述][20200313135417707.png]

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**示例：**

一个数组创建成对应的二叉排序树，并使用中序遍历二叉排序树，  
比如: 数组为 Array(7, 3, 10, 12, 5, 1, 9)  
![在这里插入图片描述][2020031314001842.png]  
对于上述问题思路很简单，和之前建树一样，只不过需要判断数值，要求左子节点的值比当前节点的值小，右子节点的值比当前节点的值大。

现在插入一个数值2。  
二叉排序树的删除情况比较复杂，有下面三种情况需要考虑：  
![在这里插入图片描述][20200313140130778.png]

1.  删除叶子节点 (比如：2, 5, 9, 12)
2.  删除只有一颗子树的节点 (比如：1)
3.  删除有两颗子树的节点. (比如：7, 3，10 )

**第一种情况：** 删除叶子节点 (比如：2, 5, 9, 12)

思路  
(1) 先去找到要删除的结点 targetNode  
(2) 找到 targetNode 的 父结点 parent  
(3) 确定 targetNode 是 parent的左子结点 还是右子结点  
(4) 根据前面的情况来对应删除：  
左子结点就是 parent.left = null  
右子结点就是 parent.right = null;

**第二种情况：** 删除只有一颗子树的节点 （比如 1）

思路  
(1) 先去找到要删除的结点 targetNode  
(2) 找到 targetNode 的 父结点 parent  
(3) 确定 targetNode 的子结点是左子结点还是右子结点  
(4) targetNode 是 parent 的左子结点还是右子结点  
(5) 如果 targetNode 有左子结点

1.  如果 targetNode 是 parent 的左子结点  
    parent.left = targetNode.left;
2.  如果 targetNode 是 parent 的右子结点  
    parent.right = targetNode.left;

(6) 如果targetNode 有右子结点

1.  如果 targetNode 是 parent 的左子结点  
    parent.left = targetNode.right;
2.  如果 targetNode 是 parent 的右子结点  
    parent.right = targetNode.right

**第三种情况 ：** 删除有两颗子树的节点. (比如：7, 3，10 )

思路  
(1) 先去找到要删除的结点 targetNode  
(2) 找到 targetNode 的 父结点 parent  
(3) 从 targetNode 的右子树找到最小的结点  
(4) 用一个临时变量，将 最小结点的值保存 temp  
(5) 删除该最小结点  
(6) targetNode.value = temp

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## 完整代码 ##

public class BinarySortTreeDemo { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		int[] arr = {  7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2 };
    		BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
    		// 循环的添加结点到二叉排序树
    		for (int i = 0; i < arr.length; i++) { 
    			binarySortTree.add(new Node(arr[i]));
    		}
    
    		// 中序遍历二叉排序树
    		System.out.println("中序遍历二叉排序树：");
    		binarySortTree.infixOrder(); // 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12
    
    		// 测试
    		binarySortTree.delNode(12);
    
    		binarySortTree.delNode(5);
    		binarySortTree.delNode(10);
    		binarySortTree.delNode(2);
    		binarySortTree.delNode(3);
    
    		binarySortTree.delNode(9);
    		binarySortTree.delNode(1);
    		binarySortTree.delNode(7);
    
    		System.out.println("root=" + binarySortTree.getRoot());
    
    		System.out.println("删除结点后");
    		binarySortTree.infixOrder();
    	}
    
    }
    
    // 创建二叉排序树
    class BinarySortTree { 
    	private Node root;
    
    	public Node getRoot() { 
    		return root;
    	}
    
    	// 查找要删除的结点
    	public Node search(int value) { 
    		if (root == null) { 
    			return null;
    		} else { 
    			return root.search(value);
    		}
    	}
    
    	// 查找父结点
    	public Node searchParent(int value) { 
    		if (root == null) { 
    			return null;
    		} else { 
    			return root.searchParent(value);
    		}
    	}
    
    	// 编写方法:
    	// 1. 返回 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
    	// 2. 删除 node 为根结点的二叉排序树的最小结点
    	/** * @param node * 传入的结点(当做二叉排序树的根结点) * @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值 */
    	public int delRightTreeMin(Node node) { 
    		Node target = node;
    		// 循环的查找左子节点，就会找到最小值
    		while (target.left != null) { 
    			target = target.left;
    		}
    		// 这时 target就指向了最小结点
    		// 删除最小结点
    		delNode(target.value);
    		return target.value;
    	}
    
    	// 删除结点
    	public void delNode(int value) { 
    		if (root == null) { 
    			return;
    		} else { 
    			// 先找到要删除的结点 targetNode
    			Node targetNode = search(value);
    			// 如果没有找到要删除的结点
    			if (targetNode == null) { 
    				return;
    			}
    			// 如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
    			if (root.left == null && root.right == null) { 
    				root = null;
    				return;
    			}
    			// 找到targetNode的父结点
    			Node parent = searchParent(value);
    			// 如果要删除的结点是叶子结点
    			if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) { 
    				// 判断 targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
    				if (parent.left != null && parent.left.value == value) {  // 是左子结点
    					parent.left = null;
    				} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) { // 是右子结点
    					parent.right = null;
    				}
    			} // 删除有两颗子树的节点
    			else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { 
    				int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
    				targetNode.value = minVal;
    
    			} else {  // 删除只有一颗子树的结点
    				// 如果要删除的结点有左子结点
    				if (targetNode.left != null) { 
    					if (parent != null) { 
    						// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
    						if (parent.left.value == value) { 
    							parent.left = targetNode.left;
    						} else {  // targetNode 是 parent 的右子结点
    							parent.right = targetNode.left;
    						}
    					} else { 
    						root = targetNode.left;
    					}
    				} else {  // 如果要删除的结点有右子结点
    					if (parent != null) { 
    						// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
    						if (parent.left.value == value) { 
    							parent.left = targetNode.right;
    						} else {  // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
    							parent.right = targetNode.right;
    						}
    					} else { 
    						root = targetNode.right;
    					}
    				}
    			}
    		}
    	}
    
    	// 添加结点的方法
    	public void add(Node node) { 
    		if (root == null) { 
    			root = node;// 如果root为空则直接让root指向node
    		} else { 
    			root.add(node);
    		}
    	}
    
    	// 中序遍历
    	public void infixOrder() { 
    		if (root != null) { 
    			root.infixOrder();
    		} else { 
    			System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
    		}
    	}
    }
    
    // 创建Node结点
    class Node { 
    	int value;
    	Node left;
    	Node right;
    
    	public Node(int value) { 
    		this.value = value;
    	}
    
    	// 查找要删除的结点
    	/** * @param value * 希望删除的结点的值 * @return 如果找到返回该结点，否则返回null */
    	public Node search(int value) { 
    		if (value == this.value) {  // 找到就是该结点
    			return this;
    		} else if (value < this.value) { // 如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
    			// 如果左子结点为空
    			if (this.left == null) { 
    				return null;
    			}
    			return this.left.search(value);
    		} else {  // 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
    			if (this.right == null) { 
    				return null;
    			}
    			return this.right.search(value);
    		}
    	}
    
    	// 查找要删除结点的父结点
    	/** * @param value * 要找到的结点的值 * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null */
    	public Node searchParent(int value) { 
    		// 如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回
    		if ((this.left != null && this.left.value == value)
    				|| (this.right != null && this.right.value == value)) { 
    			return this;
    		} else { 
    			if (value < this.value && this.left != null) { 
    				return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找
    			} else if (value >= this.value && this.right != null) { 
    				return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找
    			} else { 
    				return null; // 没有找到父结点
    			}
    		}
    
    	}
    
    	@Override
    	public String toString() { 
    		return "Node [value=" + value + "]";
    	}
    
    	// 添加结点的方法
    	// 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
    	public void add(Node node) { 
    
    		if (node == null) { 
    			return;
    		}
    		// 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
    		if (node.value < this.value) { 
    			// 如果当前结点左子结点为null
    			if (this.left == null) { 
    				this.left = node;
    			} else { 
    				// 递归的向左子树添加
    				this.left.add(node);
    			}
    		} else {  // 添加的结点的值大于 当前结点的值
    			if (this.right == null) { 
    				this.right = node;
    			} else { 
    				// 递归的向右子树添加
    				this.right.add(node);
    			}
    
    		}
    	}
    
    	// 中序遍历
    	public void infixOrder() { 
    		if (this.left != null) { 
    			this.left.infixOrder();
    		}
    		System.out.println(this);
    		if (this.right != null) { 
    			this.right.infixOrder();
    		}
    	}
    
    }

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# 平衡二叉树(AVL树) #

看一个例子 (可以发现二叉排序树可能出现的问题)

**给你一个数列\{1,2,3,4,5,6\}，要求创建一颗二叉排序树(BST),**

根据上面说到的，这个数列的二叉排序树应该是这样的：  
![在这里插入图片描述][20200313153851975.png]  
这个 BST 存在的**问题分析:**

1.  左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
2.  插入速度没有影响
3.  查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢

这个问题的解决方案就是使用 **平衡二叉树(AVL)**

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**基本介绍**

1.  平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree）又被称为AVL树， 可以保证查询效率较高。
2.  它具有以下特点：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。  
    ![在这里插入图片描述][20200313155211954.png]

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将非平衡二叉树转成平衡二叉树的方法：左旋转、右旋转、双旋转。

现在简单来说，如果是根节点右子树，出现不平衡，那就需要左旋转。如果是根节点左子树，出现不平衡，那就需要右旋转。

**左旋转：**

大致示意图：  
![在这里插入图片描述][20200313162316332.gif]  
现在给出一个数列，创建出对应的平衡二叉树。数列 \{4,3,6,5,7,8\}

首先，构造二叉排序树：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]  
构造之后问题出现，也就是当插入8 时 rightHeight() - leftHeight() > 1 成立。此时，它不是一颗avl树了。

处理办法：进行左旋转.

1.创建一个新的节点newNode，值等于根节点的值。（这里是4）

2.把新节点的左子树设置为这个根节点的左子树 newNode.left = left

3.把新节点的右子树设置为这个根节点的右子树的左子树 newNode.right =right.left;

4.把这个根节点值换为右子节点的值 value=right.value;

5.把这个根节点的右子树设置成右子树的右子树 right=right.right;

6.把这个根节点的左子树设置为新节点 left=newNode;

那么结果就是：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
（如果不理解，可以看动图，再通过步骤好好观察）

**右旋转：**

大致示意图：  
![在这里插入图片描述][20200313162341937.gif]  
现在给出一个数列，创建出对应的平衡二叉树。数列 \{10,12, 8, 9, 7, 6\}

首先，构造二叉排序树：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
构造之后问题出现，也就是当插入6 时 leftHeight() - rightHeight() > 1 成立。此时，它不是一颗avl树了。

处理办法：进行右旋转.

1.创建一个新的节点newNode，值等于根节点的值。（这里是10）

2.把新节点的右子树设置为这个根节点的右子树 newNode.right = right

3.把新节点的左子树设置为这个根节点的左子树的右子树 newNode.left =left.right;

4.把这个根节点值换为左子节点的值 value=left.value;

5.把这个根节点的左子树设置成左子树的左子树 left=left.left;

6.把这个根节点的右子树设置为新节点 right=newNode;

那么结果就是：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
**双旋转：**

前面的两个举例数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树。但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。

比如：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]

从目前的问题，分析来看： 在满足右旋转条件时，要判断  
如果 根节点的 左子树的 右子树高度 大于 根节点的 左子树的 左子树高度，那就对 当前根节点的 左子树，先进行 左旋转，然后， 在对当前根节点进行右旋转即可

否则，直接对当前节点（根节点）进行右旋转.即可.

即步骤为：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NjEzOTMx_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
所以，对左旋转也同理。

在满足左旋转条件时，要判断  
如果 根节点的 右子树的 左子树高度 大于 根节点的 右子树的 右子树高度，那就对 当前根节点的 右子树，先进行 右旋转，然后， 在对当前根节点进行左旋转即可

否则，直接对当前节点（根节点）进行左旋转.即可。

根据以上分析，现在代码实现。

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## 完整代码 ##

public class AVLTreeDemo { 
    
    	public static void main(String[] args) { 
    		// int[] arr = { 4, 3, 6, 5, 7, 8 };
    		// int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 };
    		int[] arr = {  10, 11, 7, 6, 8, 9 };
    		// 创建一个 AVLTree对象
    		AVLTree avlTree = new AVLTree();
    		// 添加结点
    		for (int i = 0; i < arr.length; i++) { 
    			avlTree.add(new Node(arr[i]));
    		}
    
    		// 遍历
    		System.out.println("中序遍历");
    		avlTree.infixOrder();
    
    		System.out.println("平衡处理：");
    		System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height());
    		System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());
    		System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());
    		System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());
    
    	}
    
    }
    
    // 创建AVLTree
    class AVLTree { 
    	private Node root;
    
    	public Node getRoot() { 
    		return root;
    	}
    
    	// 查找要删除的结点
    	public Node search(int value) { 
    		if (root == null) { 
    			return null;
    		} else { 
    			return root.search(value);
    		}
    	}
    
    	// 查找父结点
    	public Node searchParent(int value) { 
    		if (root == null) { 
    			return null;
    		} else { 
    			return root.searchParent(value);
    		}
    	}
    
    	// 编写方法:
    	// 1. 返回 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
    	// 2. 删除 node 为根结点的二叉排序树的最小结点
    	/** * @param node * 传入的结点(当做二叉排序树的根结点) * @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值 */
    	public int delRightTreeMin(Node node) { 
    		Node target = node;
    		// 循环的查找左子节点，就会找到最小值
    		while (target.left != null) { 
    			target = target.left;
    		}
    		// 这时 target就指向了最小结点
    		// 删除最小结点
    		delNode(target.value);
    		return target.value;
    	}
    
    	// 删除结点
    	public void delNode(int value) { 
    		if (root == null) { 
    			return;
    		} else { 
    			// 先找到要删除的结点 targetNode
    			Node targetNode = search(value);
    			// 如果没有找到要删除的结点
    			if (targetNode == null) { 
    				return;
    			}
    			// 如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
    			if (root.left == null && root.right == null) { 
    				root = null;
    				return;
    			}
    			// 找到targetNode的父结点
    			Node parent = searchParent(value);
    			// 如果要删除的结点是叶子结点
    			if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) { 
    				// 判断 targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
    				if (parent.left != null && parent.left.value == value) {  // 是左子结点
    					parent.left = null;
    				} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) { // 是右子结点
    					parent.right = null;
    				}
    			} // 删除有两颗子树的节点
    			else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { 
    				int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
    				targetNode.value = minVal;
    				
    			} else {  // 删除只有一颗子树的结点
    				// 如果要删除的结点有左子结点
    				if (targetNode.left != null) { 
    					if (parent != null) { 
    						// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
    						if (parent.left.value == value) { 
    							parent.left = targetNode.left;
    						} else {  // targetNode 是 parent 的右子结点
    							parent.right = targetNode.left;
    						}
    					} else { 
    						root = targetNode.left;
    					}
    				} else {  // 如果要删除的结点有右子结点
    					if (parent != null) { 
    						// 如果 targetNode 是 parent 的左子结点
    						if (parent.left.value == value) { 
    							parent.left = targetNode.right;
    						} else {  // 如果 targetNode 是 parent 的右子结点
    							parent.right = targetNode.right;
    						}
    					} else { 
    						root = targetNode.right;
    					}
    				}
    			}
    		}
    	}
    
    	// 添加结点的方法
    	public void add(Node node) { 
    		if (root == null) { 
    			root = node;// 如果root为空则直接让root指向node
    		} else { 
    			root.add(node);
    		}
    	}
    
    	// 中序遍历
    	public void infixOrder() { 
    		if (root != null) { 
    			root.infixOrder();
    		} else { 
    			System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
    		}
    	}
    }
    
    // 创建Node结点
    class Node { 
    	int value;
    	Node left;
    	Node right;
    
    	public Node(int value) { 
    		this.value = value;
    	}
    
    	// 返回左子树的高度
    	public int leftHeight() { 
    		if (left == null) { 
    			return 0;
    		}
    		return left.height();
    	}
    
    	// 返回右子树的高度
    	public int rightHeight() { 
    		if (right == null) { 
    			return 0;
    		}
    		return right.height();
    	}
    
    	// 返回 以该结点为根结点的树的高度
    	public int height() { 
    		return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0: right.height()) + 1;
    	}
    
    	// 左旋转方法
    	private void leftRotate() { 
    
    		// 创建新的结点，以当前根结点的值
    		Node newNode = new Node(value);
    		// 把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
    		newNode.left = left;
    		// 把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
    		newNode.right = right.left;
    		// 把当前结点的值替换成右子结点的值
    		value = right.value;
    		// 把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
    		right = right.right;
    		// 把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
    		left = newNode;
    
    	}
    
    	// 右旋转
    	private void rightRotate() { 
    		Node newNode = new Node(value);
    		newNode.right = right;
    		newNode.left = left.right;
    		value = left.value;
    		left = left.left;
    		right = newNode;
    	}
    
    	// 查找要删除的结点
    	/** * @param value * 希望删除的结点的值 * @return 如果找到返回该结点，否则返回null */
    	public Node search(int value) { 
    		if (value == this.value) {  // 找到就是该结点
    			return this;
    		} else if (value < this.value) { // 如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
    			// 如果左子结点为空
    			if (this.left == null) { 
    				return null;
    			}
    			return this.left.search(value);
    		} else {  // 如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
    			if (this.right == null) { 
    				return null;
    			}
    			return this.right.search(value);
    		}
    
    	}
    
    	// 查找要删除结点的父结点
    	/** * @param value * 要找到的结点的值 * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null */
    	public Node searchParent(int value) { 
    		// 如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回
    		if ((this.left != null && this.left.value == value)
    				|| (this.right != null && this.right.value == value)) { 
    			return this;
    		} else { 
    			// 如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空
    			if (value < this.value && this.left != null) { 
    				return this.left.searchParent(value); // 向左子树递归查找
    			} else if (value >= this.value && this.right != null) { 
    				return this.right.searchParent(value); // 向右子树递归查找
    			} else { 
    				return null; // 没有找到父结点
    			}
    		}
    	}
    
    	@Override
    	public String toString() { 
    		return "Node [value=" + value + "]";
    	}
    
    	// 添加结点的方法
    	// 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
    	public void add(Node node) { 
    		if (node == null) { 
    			return;
    		}
    
    		// 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
    		if (node.value < this.value) { 
    			// 如果当前结点左子结点为null
    			if (this.left == null) { 
    				this.left = node;
    			} else { 
    				// 递归的向左子树添加
    				this.left.add(node);
    			}
    		} else {  // 添加的结点的值大于 当前结点的值
    			if (this.right == null) { 
    				this.right = node;
    			} else { 
    				// 递归的向右子树添加
    				this.right.add(node);
    			}
    		}
    
    		// 当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) > 1 , 左旋转
    		if (rightHeight() - leftHeight() > 1) { 
    			// 如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
    			if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) { 
    				// 先对右子结点进行右旋转
    				right.rightRotate();
    				// 然后在对当前结点进行左旋转
    				leftRotate(); 
    			} else { 
    				// 直接进行左旋转即可
    				leftRotate();
    			}
    			return; // 必须要有
    		}
    
    		// 当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度) > 1, 右旋转
    		if (leftHeight() - rightHeight() > 1) { 
    			// 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的左子树高度
    			if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) { 
    				// 先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转
    				left.leftRotate();
    				// 再对当前结点进行右旋转
    				rightRotate();
    			} else { 
    				// 直接进行右旋转即可
    				rightRotate();
    			}
    		}
    	}
    
    	// 中序遍历
    	public void infixOrder() { 
    		if (this.left != null) { 
    			this.left.infixOrder();
    		}
    		System.out.println(this);
    		if (this.right != null) { 
    			this.right.infixOrder();
    		}
    	}
    
    }

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