每日算法：动态规划（不同路径、不同路径Ⅱ、最小路径和、爬楼梯）第一天打卡

╰半夏微凉° 2023-07-22 03:46 27阅读 0赞

## 题目一：不同路径 ##

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

![format_png][]

示例一：

输入: m = 3, n = 2
    输出: 3
    解释:
    从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
    1. 向右 -> 向右 -> 向下
    2. 向右 -> 向下 -> 向右
    3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例二：

输入: m = 7, n = 3
    输出: 28

class Solution {
        public int uniquePaths(int m, int n) {
            int[][] arr = new int[n][m];
            for(int i = 0;i < n;i++){
                arr[i][0] = 1;
            }
            for(int i = 0;i < m;i++){
                arr[0][i] = 1;
            }
            for(int i = 1;i < n;i++){
                for(int j = 1;j < m;j++){
                    arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i][j - 1];
                }
            }
            return arr[n-1][m-1];
        }
    }

我觉得这个题也是比较简单吧，一个二维数组就搞定，主要的思想是arr\[i\]\[j\]表明的是到达这个点有多少种路径方法。再前两个for循环属于初始化，（机器人每次只能向下或者向右移动一步）这句话就很关键！之后遍历一次就可以了。

## 题目二：不同路径Ⅱ ##

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

![format_png][]

网格中的障碍物和空位置分别用 `1` 和 `0` 来表示。

**说明：***m* 和 *n *的值均不超过 100。

输入:
    [
      [0,0,0],
      [0,1,0],
      [0,0,0]
    ]
    输出: 2
    解释:
    3x3 网格的正中间有一个障碍物。
    从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
    1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
    2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

class Solution {
        public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
            int[][] arr = new int[obstacleGrid.length][obstacleGrid[0].length];
            arr[0][0] = obstacleGrid[0][0]==1?0:1;
    
            for(int i = 1;i < arr.length;i++){
                if(obstacleGrid[i][0] == 1){//遇到障碍物
                    for(int j = i;j < arr.length;j++){
                        arr[j][0] = 0;
                    }
                    break;
                }else{
                    arr[i][0] = arr[i-1][0];
                }
            }
            for(int i = 1;i < arr[0].length;i++){
                if(obstacleGrid[0][i] == 1){//遇到障碍物
                    for(int j = i;j < arr[0].length;j++){
                        arr[0][i] = 0;
                    }
                    break;
                }else{
                    arr[0][i] = arr[0][i - 1];
                }
            }
    
            for(int i = 1;i < arr.length;i++){
                for(int j = 1;j < arr[0].length;j++){
                    if(obstacleGrid[i][j] == 1){//遇到障碍物
                        arr[i][j] = 0;
                    }else{
                        arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i][j - 1];
                    }
                }
            }
            return arr[ arr.length-1][arr[0].length-1];
        }
    }

这个也非常简单，我们定义一个二维数组，arr，arr和题目一的作用是一样的，当我们遇到障碍的时候arr\[i\]\[j\]就变成了0。初始化第一排和第一列的时候，如果发现有障碍，那么后面的都是0。

## 题目三：最小路径和 ##

给定一个包含非负整数的 *m* x *n* 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

**说明：**每次只能向下或者向右移动一步。

输入:
    [
      [1,3,1],
      [1,5,1],
      [4,2,1]
    ]
    输出: 7
    解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

class Solution {
        public int minPathSum(int[][] grid) {
            for(int i = 1;i < grid.length;i++){
                grid[i][0] += grid[i - 1][0];
            }
            for(int i = 1;i < grid[0].length;i++){
                grid[0][i] += grid[0][i-1];
            }
            for(int i = 1;i < grid.length;i++){
                for(int j = 1;j < grid[0].length;j++){
                    grid[i][j] += Math.min(grid[i - 1][j] , grid[i][j - 1]);
                }
            }
            return grid[grid.length - 1][grid[0].length - 1];
        }
    }

这个题就更容易一些了，先初始化第一排和第一列，然后呢找grid\[i - 1\]\[j\]和 grid\[i\]\[j - 1\]中较小的相加，就意味着到达某一路径中最向下还是向右是路径最小，然后相加。

## 题目四：爬楼梯 ##

假设你正在爬楼梯。需要 *n* 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

**注意：**给定 *n* 是一个正整数。

输入： 2
    输出： 2
    解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
    1.  1 阶 + 1 阶
    2.  2 阶

输入： 3
    输出： 3
    解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
    1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
    2.  1 阶 + 2 阶
    3.  2 阶 + 1 阶

class Solution {
        public int climbStairs(int n) {
            int[] arr = new int[n + 1];
            arr[0] = 1;
            arr[1] = 1;
            for(int i = 2;i <= n;i++){
                arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
            }
            return arr[n];
        }
    }

这题应该是非常经典的一个题了，其实就是一个斐波那契数列。这个题也可以用递归搞，但是那样的话就太low了。

思路是这样的，arr\[i\]表示上第i阶楼梯的时候的方法数。初始化时候arr\[0和arr\[1\]都是1，\]。如果要迈上2阶楼梯，可以选择从第一个台阶上一个台阶和直接迈两层。所以arr\[2\] = arr\[0\] + arr\[1\]。如果3阶楼梯，可以是从第二个台阶选择上一个台阶这是一个方法 ，也可以从第一个台阶迈两层，这是第二个方法。所以arr\[3\] = arr\[2\] + arr\[1\]。

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