高等数学之美——前言

- 日理万妓 2023-07-22 09:21 12阅读 0赞

谈到高数可能是很多人的噩梦，高数真的有那么可怕吗？客官们请看我一一道来。数学课给大多数感觉是魔鬼课的是第一印象就是抽象吧，数学是抽象没错，但是这是给我们普通人接受的教育，真的会那么抽象吗？对于非数学专业的同学来说，我们正常人接受的数学课实际上不可能那么遥不可及，我们基本上只是当做一门工具而已，工具是不是我们只要会用就行了呢，只要大致知道原理不就可以正常使用了吧，我们又不是专业制造工具的人，当然制造数学的是数学家，这根本对于我们常人来说就是一辈子不可企及的事情，这个得有点数，不是人人都能达到与数学及一个级别的，这个讲究天赋和从小的教育。

数学仅仅是一门工具而已，还记得小时候第一个上数学课的情景吗？老师是不是跟你介绍这是加法，这是减法，这是数字。为啥1+1等于2，这个问题现在看起来是不是很傻逼，为啥圆的面积是πR2，长方形的面积是长乘以宽，这些我们当时好像是怀疑过，又好像就是怀疑在那一瞬间，然后就接受了。为啥呢，因为那是我们老师教给我们的呀，肯定权威没错了（其实因为那个时候压根没有想那么多）。那反而读到了高等教育的时候，就接受不了高数里的公式了，难道身为大学生的我们还不如小时候吗?实际上，我们接受之后，多用几次就能明白这个是对的，多做几次加法后，难道我们不就体会到加法的科学正确之处了，有的时候先用后理解并不是不科学的，如果说一开始就怀疑这个理论是错的，那个理论是不可理解的，不理解我们就先记住可好。还是前面提到的，我小时候就真的这么蠢，一直纠结圆的面积怎么是这个公式，那么到底什么是圆的面积，等长大了，发现这个疑问似乎就解决了，因为这仅仅是一个定义而已，圆的面积实际上需要积分的理论才能求证，我们总不能小学的时候学微积分吧？面积的定义，是用长方形为基础的，这样我们就理解了。很多东西不是我们目前的知识可解释的，至少对于普通人来说。

聊高数之前，一定得搞清楚一个概念，那就是函数，这不是中学里的内容吗，为啥重提这个。学函数的时候，是慢慢过渡学的，初中的时候二次函数，直接就说这个y=ax2+bx+c是一个二次函数，那个时候实际上压根没有讲函数的概念，就是让大家先有一个概念，当时是这个给的这样的表达式就是二次函数。我们可以知道，给定一个x值就对应着一个y值，用这个图示很形象一点：实际上函数是相当于一个操作，就是我们每个x都用这个公式计算出来ax2+bx+c，然后得到一个值就是y，这才是函数干的事情，每一个x值都

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这样进行计算，我们这样进行推广，实际上中间的这个盒子，我们可以变成任意的黑盒子，黑盒子里可以装任何东西，比如我们的三角函数sinx，tanx。在我们所学的知识里面一个x对应一个y这个很重要，毫不夸张的说，函数实际上可以帮我们干任何事情，我们要想一个什么样的y值，我们就可以定义一个什么样的操作，让x值操作后就能变成y，这样的事情在理论上是不是可以办到？这样的事情我们是可以接受的吧。

实际上操作这件事情，我从小学一年级就在做，比如1+1=2，这里的+号就是操作，只是这里给了黑盒子x1（值是1）和x2（值是1）然后**操作**成了数值2。在这里，我们就要大胆地给出一个结论：万物皆操作。

操作换成我们常说的一个字，那就是干。我们天天都在干事情，机器天天都在运转，地球天天都在转，时间天天都在流逝。我们最常用的智能手机来说吧，我们为啥触碰了它就能给我们想要的结果，这实际上也是操作，也是函数，只是计算机硬件和软件帮我们完成了而已，只是我们没有感觉而已。数学是跟我们生活息息相关的，只是多数时候我们没有感觉到的，买菜也许用不到，但是我们思考方式会不一样了。

好像有点跑题了，聊到这里还没切入正题，好吧，我们来看看让大家痛不欲生的高数。不知道有没有注意到，高数这门课里聊的最多的一个思想是**抓大取小**，这是我本科时数学竞赛老师给我聊到的，我觉得说的十分靠谱。比如，我们的高数提到的极限就是抓大取小，极限说到底就是求出一个数值来替代很复杂的表达式，然后忽略哪些无穷小值，我们常用的时候等价无穷小，等价无穷小不就是忽略无穷小项吗只要那个大的吗？再比如，我们到了求积分的时候，用的又是用无数条矩形（或者是梯形，一般为了便于计算，我们用的都是矩形去替代的，细心看教材里的公式就能发现的）去等价曲线围起来的面积吗？那小的部分我们不是也给忽略不计了。再到后来的无穷级数更是如此。所以高数的整个过程是离不开**抓大取小**这个思想的。

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