887. 鸡蛋掉落(动态规划经典题)

淩亂°似流年 2023-07-24 11:37 15阅读 0赞

**题目描述：**

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

**示例 1：**

输入：K = 1, N = 2
    输出：2
    解释：
    鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
    否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
    如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
    因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

**示例 2：**

输入：K = 2, N = 6
    输出：3

**示例 3：**

输入：K = 3, N = 14
    输出：4

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**解题思路:**动态规划 + 二分搜索

本题是谷歌的一道经典面试题。由于本题过于经典，谷歌公司已经不再将这题作为面试的候选题目了。

本题难度较高，要想通过本题，需要一定的动态规划优化或数学功底。本题的标准解法为动态规划，由于篇幅有限，不会叙述 **动态规划的边界条件**、**自底向上的动态规划和自顶向下的动态规划分别怎么实现** 等较为基础的知识，而是把重点放在推导动态规划状态转移方程的过程，以及优化的思路、证明以及方法。

**思路和算法**

我们可以考虑使用动态规划来做这道题，状态可以表示成 (K,N)(K, N)(K,N)，其中 KKK 为鸡蛋数，NNN 为楼层数。当我们从第 XXX 楼扔鸡蛋的时候：

*  如果鸡蛋不碎，那么状态变成 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X)，即我们鸡蛋的数目不变，但答案只可能在上方的 N−XN-XN−X 层楼了。也就是说，我们把原问题缩小成了一个规模为 (K,N−X)(K, N-X)(K,N−X) 的子问题；
 *  如果鸡蛋碎了，那么状态变成 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1)，即我们少了一个鸡蛋，但我们知道答案只可能在第 XXX 楼下方的 X−1X-1X−1 层楼中了。也就是说，我们把原问题缩小成了一个规模为 (K−1,X−1)(K-1, X-1)(K−1,X−1) 的子问题。

这样一来，我们定义 dp(K,N)dp(K, N)dp(K,N) 为在状态 (K,N)(K, N)(K,N) 下最少需要的步数。根据以上分析我们可以列出状态转移方程：

d p ( K , N ) = 1 + min ⁡ 1 ≤ X ≤ N ( max ⁡ ( d p ( K − 1 , X − 1 ) , d p ( K , N − X ) ) ) d p(K, N)=1+\\min \_\{1 \\leq X \\leq N\}(\\max (d p(K-1, X-1), d p(K, N-X))) dp(K,N)=1\+min1≤X≤N(max(dp(K−1,X−1),dp(K,N−X)))

这个状态转移方程是如何得来的，详细解释： [leetcode官网][leetcode]

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**代码：**

class Solution:
        def superEggDrop(self, K, N):
            memo = {
        }
            def dp(k, n):
                if (k, n) not in memo:
                    if n == 0:
                        ans = 0
                    elif k == 1:
                        ans = n
                    else:
                        lo, hi = 1, n
                        # keep a gap of 2 X values to manually check later
                        while lo + 1 < hi:
                            x = (lo + hi) // 2
                            t1 = dp(k-1, x-1)
                            t2 = dp(k, n-x)
    
                            if t1 < t2:
                                lo = x
                            elif t1 > t2:
                                hi = x
                            else:
                                lo = hi = x
    
                        ans = 1 + min(max(dp(k-1, x-1), dp(k, n-x))
                                      for x in (lo, hi))
    
                    memo[k, n] = ans
                return memo[k, n]
    
            return dp(K, N)

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**题目来源：**

\[1\]. [https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop][https_leetcode-cn.com_problems_super-egg-drop]  
\[2\]. [动态规划（只解释官方题解方法一）][Link 1]  
\[3\]. [题目理解 + 基本解法 + 进阶解法][_ _ _]

[leetcode]: https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/solution/ji-dan-diao-luo-by-leetcode-solution/
[https_leetcode-cn.com_problems_super-egg-drop]: https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop
[Link 1]: https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/solution/dong-tai-gui-hua-zhi-jie-shi-guan-fang-ti-jie-fang/
[_ _ _]: https://leetcode-cn.com/problems/super-egg-drop/solution/ji-ben-dong-tai-gui-hua-jie-fa-by-labuladong/