动态规划-除数博弈

亦凉 2023-07-25 06:13 10阅读 0赞

## 除数博弈 ##

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。  
最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：  
选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。  
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。  
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。  
示例 1：

输入：2  
输出：true  
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。  
示例 2：

输入：3  
输出：false  
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

**数学解法**  
解题思路  
数学思想  
归纳法：  
基本思路：  
最终结果应该是拿到 2 的赢，拿到 1 的输；

也就是当前为奇数，奇数的约数(%)只能是奇数或者 1，因此下一个一定是偶数；

要是当前为偶数， 偶数的约数(%)可以是奇数可以是偶数也可以是 1，因此直接减 1，则下一个是奇数；

所以得出，**奇数则输，偶数则赢**  
代码

class Solution { 
        public boolean divisorGame(int N) { 
            // return N%2==0?true:false;
            //更简略的写法
            return N%2==0;
        }
    }

**动态规划写法**

当n=1时，先走输；  
当n=2时，先走赢；

这些先存进dp数组里，代表子问题的最优解。  
n=3之后，先走的如果想赢（假设爱丽丝如果想赢），就需要找到小于n的数k，能使得在符合条件（n%k==0）的基础上还能让n-k（下一局的n）还是先走输。

即在内层循环中如果找到一个数使得if((dp\[i-j\]= =false)&&(i%j= =0)),\*\*(= = 表示是==的意思 )\*\*那么该数是先走赢，一层循环走下来找不到这么一个数的话，那么该数是先走输。所以只要找到一个符合条件就可以直接跳出循环了。

class Solution { 
        public boolean divisorGame(int N) { 
        boolean[] dp=new boolean[N+1];
        dp[1]=false;
        for(int i=2;i<=N;i++){ 
        	for(int j=1;j<i;j++){ 
    			if(i%j==0&&dp[i-j]==false){ 
    					dp[i]=true;
    			}
    		}
    		return dp[N];
        }
    }