【数值分析不挂科】第二章 | 插值与拟合

Love The Way You Lie 2023-09-28 12:29 11阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  【第二章：插值与拟合】
 *   *  1. 插值法概述
     *  2.1 多项式插值法
     *  2.2 Largrange插值法
     *   *  Largrange插值算法步骤
         *  Largrange插值基函数的性质
     *  2.3 Newton插值法
     *   *  差商、差商表及性质
         *  Newton插值算法步骤
     *  2.4 分段线性插值法
     *  2.5 三次样条插值
     *  3. 直线拟合最小二乘法
     *  4.1 插值总结
     *  4.2 本章重点习题
     *   *  （例题1）Newton插值法

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## 【第二章：插值与拟合】 ##

### 1. 插值法概述 ###

*  为什么要有差值方法？
    
    现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，则可以通过插值法“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这也就是插值的作用。
    
    或者说已知当前数据，需要预测其他数据，则可以通过已知数据，模拟出多项式方程，进而预测其他数据
 *  龙格现象
    
    Runge现象：一般来说,节点个数越多,插值函数和被插值函数就有越多的地方相等。但是随着插值节点个数的增加，两个插值节点之间插值函数并不一定能够很好地逼近被插值函数。再者，从舍入误差看，高次插值由于计算量大，可能会产生更严重的误差积累，所以稳定性得不到保证
    
    解决办法：采用分段低次多项式插值：如分段线性插值和分段三次Hermite插值。在每个小区间采用低次插值则可避免Runge现象.

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### 2.1 多项式插值法 ###

*  多项式差值存在唯一性
    
    在次数不超过n的多项式集合H，中，满足条件Ln(xj)=yj ( j=0,1…, n) .的插值多项式Ln®∈Hn是存唯一的
 *  多项式插值即解 n个方程组，求出 a0，a1，a2，……，an

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### 2.2 Largrange插值法 ###

#### Largrange插值算法步骤 ####

*  Lagrange插值法：基函数是 lk(x)，系数是函数值 yi
 *  算法如下  
    ![在这里插入图片描述][c135ab67498e4dd6a8f567fefebb52de.png]

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#### Largrange插值基函数的性质 ####

![在这里插入图片描述][b059089ac8674980aaa3d3e6367a6bf2.png]

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### 2.3 Newton插值法 ###

#### 差商、差商表及性质 ####

![在这里插入图片描述][de58422a961e43d5a427766e563ad7e6.png]

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#### Newton插值算法步骤 ####

*  Newton插值法：基函数是 wi(x)，系数是差商表的对角线元素

![在这里插入图片描述][d91a49faf6f84b92941e6d2a3f0b73df.png]

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### 2.4 分段线性插值法 ###

*  分段低次插值：分段线性差值（不光滑）

![在这里插入图片描述][65bc8375385c4dd199ab57ea7be6cae8.png]

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### 2.5 三次样条插值 ###

*  三次样条插值 是一个分段函数 每一段是3次多项式 满足2阶连续可微，补充边界条件
 *  三次样条插值是低次分段插值的一种，区别于分段线性插值法，最大的改进在于：每个点左右是光滑的
 *  三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑,不需要知道f的导数值(除了在2个端点可能需要)；而Hermite插值依赖于f(x)在所有插值点的导数值

算法步骤  
![在这里插入图片描述][95e20d18bdc54ad7aab9a004e0bfdf19.png]

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### 3. 直线拟合最小二乘法 ###

*  直线拟合的最小二乘法  
    ![在这里插入图片描述][468d384bd15e412990f47fce6edd73be.png]

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### 4.1 插值总结 ###

![在这里插入图片描述][0af8db629b814ad380d42cdb33df050e.png]

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### 4.2 本章重点习题 ###

#### （例题1）Newton插值法 ####

![在这里插入图片描述][e9add256d87642fb83f58575a1d85b16.png]

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