【数值分析不挂科】第三章 | 数值积分

我不是女神ヾ 2023-09-28 12:29 137阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  【第三章：数值积分】
 *   *  1. 数值积分概述
     *  2. 代数精度
     *  3.1 机械求积公式
     *  3.2 插值求积公式
     *   *  插值求积的基本性质
         *  插值求积的基本步骤
     *  3.3 Newton-Cotes 求积公式
     *   *  Newton-Cotes 求积步骤
         *  Newton-Cotes 性质
     *  3.4 复化求积公式
     *  3.5 龙贝格求积公式
     *  4.1 数值积分总结
     *  4.2 本章重点习题
     *   *  （例题1）确定使代数精度尽可能高的系数Ai
         *  （例题2）插值求积公式及精度计算
         *  （例题3）机械求积公式及精度计算
         *  （例题4）复化梯形法、Simpson法、Cotes法求积

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## 【第三章：数值积分】 ##

### 1. 数值积分概述 ###

*  为什么要学习数值积分？
    
    数值积分，把积分求值问题归结于被积函数值的计算，从而避开了 牛顿-莱布尼兹 公式需要寻找原函数的困难。
 *  需要特别注意：① 区别于第二章中 n代表点的个数。\*\*本章中的 n 指的是【区间数】\*\*而不是点的个数！【区间数 = 点的个数 - 1】 ②所有点的索引值从0开始
    
    搞清楚上面这两点才能套公式做题。
 *  求积的系数 A 有对称性

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### 2. 代数精度 ###

*  代数精度的定义与求解
    
    代数精度：若某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确成立，但对于 m+1 次多项式不准确成立，则称该求积公式具有 m 次代数精度
    
    代数精度的求解：对于 m 次精度多项式 f(x)，有 f(x) = x^0 、 f(x) = x^1 、 f(x) = x^2 、 f(x) = x^3 、……、f(x)^m 成立，而f(x)^(m+1)不成立
 *  常见的代数精度：
    
    梯形公式 精度：1
    
    中矩公式 精度：1
    
    左矩公式 & 右矩公式 精度：0

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### 3.1 机械求积公式 ###

*  机械求积的一般公式
    
    f(x) 在 \[a,b\]上的积分，可以写作 Ai\*f(xi) 的求和
 *  机械求积的步骤：待定系数，求解一个 n元一次方程
 *  求积公式的收敛性  
    ![在这里插入图片描述][7ca58b46a57345dfb1e706217e191582.png]
 *  求积公式的稳定性  
    ![在这里插入图片描述][ee8540d6e58c4971abf905883efc58fc.png]

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### 3.2 插值求积公式 ###

#### 插值求积的基本性质 ####

*  性质：插值型求积公式具有至少n次代数精度
 *  定理：下面的求积公式具有至少n次代数精度的充要条件是该公式是插值型的  
    ![在这里插入图片描述][55715eb2b51d4db1847267d12d76e18f.png]
 *  当机械求积公式具有尽可能高的代数精度时,它总是插值型的
 *  插值型求积公式是机械求积公式中最好的求积公式

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#### 插值求积的基本步骤 ####

![在这里插入图片描述][4d258f76cdf8411e90d276e49aa81b05.png]

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### 3.3 Newton-Cotes 求积公式 ###

#### Newton-Cotes 求积步骤 ####

*  需要特别注意：① n 指的是【区间数】而不是点的个数！【区间数 = 点的个数 - 1】 ②所有点的索引值从0开始  
    ![在这里插入图片描述][e7799f7c43ce4d968638e517e2be5d55.png]

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#### Newton-Cotes 性质 ####

*  Newton-Cotes公式仅适用于等分区间
 *  Cotes系数与被积函数f(x)及积分区间\[a, b\]无关
 *  Cotes系数的性质： ΣCi = 1
 *  Ci = Cn-i
 *  一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式
 *  定理：n阶Newton-Cotes 公式至少有n次代数精度
 *  定理：当n为偶数时，Newton-Cotes 公式至少有n+1次代数精度

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### 3.4 复化求积公式 ###

*  n为区间数 = 点的个数 -1 ，x的下标从0开始
 *  对于 x(i + 1/2) 可以当作 x(i + 1) 进行计算
 *  需要特别注意：① n 指的是【区间数】而不是点的个数！【区间数 = 点的个数 - 1】 ②所有点的索引值从0开始

在这里插入图片描述  
![在这里插入图片描述][6c07415e0bc5483e99aa48f694b5b8b5.png]

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### 3.5 龙贝格求积公式 ###

龙贝格求积的步骤（主要是记公式）  
![在这里插入图片描述][6ebedba2d25c43ca9a4970bb3ec82a0b.png]

当满足下列式子的时候，则Tk(k) 即为数值积分结果  
![在这里插入图片描述][42df79a3afa54acfa7774dd0e901bbef.png]

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### 4.1 数值积分总结 ###

![在这里插入图片描述][4aac567ffc70442cb23132ef38543b45.png]

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### 4.2 本章重点习题 ###

#### （例题1）确定使代数精度尽可能高的系数Ai ####

x的下标从 0 开始  
![在这里插入图片描述][3050afec35cc4f06b6ddb1e3d8380187.png]

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#### （例题2）插值求积公式及精度计算 ####

![在这里插入图片描述][33464efaeb0143ebbfddd2359f4a2b9e.png]

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#### （例题3）机械求积公式及精度计算 ####

![在这里插入图片描述][cbcfc9b9e4944c239f86b444edd97482.png]

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#### （例题4）复化梯形法、Simpson法、Cotes法求积 ####

![在这里插入图片描述][df408aea1e8c4a49a8debed251e14349.png]

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