欧拉函数：求小于等于n且与n互质的数的个数

た入场券 2023-10-01 18:48 51阅读 0赞

### 求小于等于n且与n互质的数的个数 ###

#### 互质穷举法 ####

1.  互质：两个数互质代表两者最大公约数为1
2.  最大公约数求法：辗转相除法，最小公倍数：较大值除以最大公约数乘以较小值
3.  辗转相除法：
    
    1.  较大的数a取模较小的数b，得取模值c
    2.  若取模值等于0 则最大公约数为取模值，否则继续下一步
    3.  a与c再次取模，回到第二步
    
        //求最大公约数gcd以及最大公倍数lcm
         // 36 24 36/24
         // 24 12 24/12
         // 0 结束最大公约数为12
         // 求最小公倍数
         // lcm(a, b) = (a * b)/gcd(a, b)
         public static int gcd(int a, int b){
              
             //a>=b
             //辗转相除法
             if (b==0){
              
                 return a;
             }
             return gcd(b,a%b);
         }
4.  穷举到n，一一判断该数与n的最大公约数是否为1，即是否为互质

**结论：可以实现，但时间复杂度太高**

#### 采取欧拉函数进行求取 ####

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目.

n为正整数n，p1、p2 ……pn 为正整数n的质因数

n的质因数：既是n的因数，又是质数的数

计算方法：  
 ϕ ( n ) = n × ( p 1 − 1 p 1 ) × ( p 2 − 1 p 2 ) ⋯ × ( p n − 1 p n ) \\phi (n) = n \\times (\\frac\{p\_1-1\}\{p\_1\})\\times (\\frac\{p\_2-1\}\{p\_2\})\\cdots\\times (\\frac\{p\_n-1\}\{p\_n\}) ϕ(n)=n×(p1p1−1)×(p2p2−1)⋯×(pnpn−1)  
例：  
 ϕ ( 10 ) = 10 × 1 2 × 4 5 = 4 \\phi (10) = 10 \\times \\frac\{1\}\{2\}\\times \\frac\{4\}\{5\} = 4 ϕ(10)=10×21×54=4

1.  质数的求法：因数只有1和其本身
    
    1.  单个质数n的判断
        
        依次判断2到$ \\sqrt\{n\} $的数被n取模的值是否等于零，存在任意一个即不为质数
        
        当p大于 n \\sqrt\{n\} n时，代表数p一定可以得到一个小于! n \\sqrt\{n\} n的数和一个大于 n \\sqrt\{n\} n的成对因数，不为质数
    2.  从2到n的质数的判断
        
        非穷举，穷举时间复杂度为O(n)，使用素数筛法为O( log ⁡ n \\log\_\{\}\{n\} logn)
        
        为保证效率，质数为false，合数为true
        
        1.  标记2到n的数都为质数，为false，布尔数组默认值为false，无需再一一标记
        2.  从2开始标记数，找到第一个为false的数p
        3.  标记数p的倍数为合数，即为true，倍数标记从  p × p p \\times p p×p 开始，直至数p等于$ \\sqrt\{n\} $，结束标记
            
            原因：
            
            p的倍数的因数必有p，不符合质数条件，每次从  p × p p \\times p p×p 开始标记是由于 p − p p-p p−p的部分已经进行了标记，不再重复标记，

1.  使得下一个数p 为未被标记为合数的数，即数值仍为false的数，重复第三步
2.  将标记为false 的，即为质数的全部输出

1.  采取素数筛法求取质数时，可将倍数标记的操作修改为乘以(1-1/p)，使得每一个数都能乘以其质因数

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1.  依次存入数组中，最后统一依次输出结果。

public static int f1(int n){
        
            int res = n;
            for (int i = 2;i*i<=n;i++){
        
                if (n % i==0){
        
                    res = res / i*(i-1);//res/i
                    while (n % i == 0){
        
                        n/=i;
                    }
                }
            }
            if (n>1){
        
                res = res/n*(n-1);
            }
            return res;
        }
        //区间内欧拉函数取值
        public static int[] f2(int n){
        
            int[] count = new int[n+1];
            for (int i = 1;i <= n;i++){
        
                count[i]=i;
            }
            for (int i =2 ;i <= n;i++){
        
                if (count[i] == i){
        
                    for (int j = i;j <= n;j+=i){
        
                        count[j] = count[j]/i*(i-1);
                    }
                }
            }
            return count;
        }

#### 知识点： ####

1.  最大公约数、最小公倍数
2.  单一质数判断
3.  质数筛法：埃氏筛法
4.  欧拉函数

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