灰色 GM（1,1）模型在重庆商品房销售价格预测中的应用

╰半夏微凉° 2023-10-04 11:03 18阅读 0赞

灰色 GM（1,1）模型在重庆商品房销售价格预测中的应用 AdamCY888

> 摘要：本文针对重庆市商品房价格预测问题，介绍了GM（1,1）模型基本原理，利用Python程序设工具，建立GM（1,1）灰色预测模型并进行预测，得到未来三年的预测价格并进行模型评价，从而为购房者提供决策。  
> 关键词：GM（1,1）、重庆、商品房、销售价格、预测

#### 文章目录 ####

*   *  一、 引言
     *  二、GM（1,1）模型基本原理
     *   *  2.1、模型的建立方法
         *  2.2、模型基本特点
     *  三、房价预测模型的建立
     *   *  3.1、原始数据的获取
         *  3.2、模型的应用
         *  3.3、房价预测及评价
     *  四、结论
     *  参考文献
     *  附录一

### 一、 引言 ###

我国的房地产市场已进入快速发展时期，如何采取有效的措施对商品房价格进行价格引导，减少或消除价格偏离导致的不利影响，是事关我国房地产行业可持续发展的一个重要课题。因此，对商品房销售价格的合理分析和准确预测成为当务之急。  
    重庆由于其独特的背景在全国各地的房价中处于“低价格”水平，在选择对象中具有研究价值，选取灰色 GM（1,1）模型对重庆市区 2021、2022、2023 年商品房价格进行预测分析，并拟合2012-2020年房价数据进行对比，测算其相对误差。

### 二、GM（1,1）模型基本原理 ###

灰色系统理论由我国学者邓聚龙等于 20 世纪 80 年代提出, 灰色系统是指相对于一定的认识层次,系统内部的信息部分已知, 部分未知, 即信息不完全的系统。  
    灰色系统理论认为, 由于各种环境因素对系统的影响, 使得表现系统行为特征的离散数据呈现出离乱, 但是这一无规的离散序列是潜在的有规序列的一种表现, 系统总是有其整体功能, 也就必然蕴含着某种内在规律。因而任何随机过程都可看作是在一定时空区域变化的灰色过程, 随机量可看作是灰色量, 通过生成变换可将无规序列变成有规序列。  
    GM（1,1）模型的基本原理是基于原始数据逐步变化特性，在数据处理过程中，对原始数列进行累加生成，能够生成具有指数增长规律的数列，通过建立一阶微分方程并对数据进行累减生成，即可得到预测数据。

#### 2.1、模型的建立方法 ####

（1）累加生成  
    将原始数列作为随机数列做一次累加，得到累加生成序列 x i ( 1 ) ( i = 0 , 1 , 2 , . . . n ) x\_\{i\}^\{(1)\}(i=0,1,2,...n) xi(1)(i=0,1,2,...n) 并且满足指数增长规律，因此， x i ( 1 ) ( i = 0 , 1 , 2 , . . . n ) x\_\{i\}^\{(1)\}(i=0,1,2,...n) xi(1)(i=0,1,2,...n) 满足一阶线性微分方程：  
 d X ( 1 ) d t + a X ( 1 ) = u \\frac\{\\mathrm\{d\} X^\{(1)\}\}\{\\mathrm\{d\}t\}+aX^\{(1)\}=u dtdX(1)\+aX(1)=u  
    其中， t t t 代表时间， X ( 1 ) X^\{(1)\} X(1)是时间的函数。

（2）参数估计  
     a a a 为待辨识参数，亦称发展系数，利用最小二乘法求解其近似值。计 u u u 为灰作用量，即待辨识内生变量，则:  
 a ^ = ( B T B ) − 1 B T y n = ( a u ) \\hat\{a\}=(B^\{T\}B)^\{-1\}B^\{T\}y\_\{n\}=\\binom\{a\}\{u\} a^=(BTB)−1BTyn=(ua)  
    然后，将近似值代入原微分方程进行求解。其中：  
 B = ( − 1 2 ( x 1 ( 1 ) + x 2 ( 1 ) ) 1 − 1 2 ( x 2 ( 1 ) + x 3 ( 1 ) ) 1 : : − 1 2 ( x n − 1 ( 1 ) + x n ( 1 ) ) 1 ) B=\\begin\{pmatrix\} -\\frac\{1\}\{2\}(x\_\{1\}^\{(1)\}+x\_\{2\}^\{(1)\}) & 1 \\\\ -\\frac\{1\}\{2\}(x\_\{2\}^\{(1)\}+x\_\{3\}^\{(1)\})& 1 \\\\ : & :\\\\ -\\frac\{1\}\{2\}(x\_\{n-1\}^\{(1)\}+x\_\{n\}^\{(1)\}) & 1\\\\ \\end\{pmatrix\} B=⎝⎜⎜⎜⎛−21(x1(1)\+x2(1))−21(x2(1)\+x3(1)):−21(xn−1(1)\+xn(1))11:1⎠⎟⎟⎟⎞

y n = \[ x 2 ( 0 ) x 3 ( 0 ) : x n ( 0 ) \] y\_\{n\}=\\begin\{bmatrix\} x\_\{2\}^\{(0)\}\\\\ x\_\{3\}^\{(0)\}\\\\ :\\\\ x\_\{n\}^\{(0)\}\\\\ \\end\{bmatrix\} yn=⎣⎢⎢⎢⎡x2(0)x3(0):xn(0)⎦⎥⎥⎥⎤

（3）求解模型  
    对原微分方程求解，可以得到离散时间响应函数，原微分方程的近似解为：  
 X i + 1 ( 1 ) = \[ X i ( 0 ) − u a \] e − a i + u a X\_\{i+1\}^\{(1)\}=\[X\_\{i\}^\{(0)\}-\\frac\{u\}\{a\}\]e^\{-ai\}+\\frac\{u\}\{a\} Xi\+1(1)=\[Xi(0)−au\]e−ai\+au

（4）模型预测  
    若检验合格，则可以用模型进行预测。  
    计算出:  
 X i + 1 ( 2 ) = X i + 1 ( 1 ) − X i ( 1 ) , X i + 2 ( 2 ) = X i + 2 ( 1 ) − X i + 1 ( 1 ) , . . . X\_\{i+1\}^\{(2)\}=X\_\{i+1\}^\{(1)\}-X\_\{i\}^\{(1)\},X\_\{i+2\}^\{(2)\}=X\_\{i+2\}^\{(1)\}-X\_\{i+1\}^\{(1)\},... Xi\+1(2)=Xi\+1(1)−Xi(1),Xi\+2(2)=Xi\+2(1)−Xi\+1(1),...  
    即得到 X i + 1 ( 0 ) , X i + 2 ( 0 ) , . . . X\_\{i+1\}^\{(0)\},X\_\{i+2\}^\{(0)\},... Xi\+1(0),Xi\+2(0),...的预测值。

#### 2.2、模型基本特点 ####

灰色系统理论核心和基础的灰色模型(GreyMode1), 简称 GM 模型, 概括而言具有以下 3 个特点:  
    (1)建模所需信息较少, 通常只要有 4 个以上数据即可建模;  
    (2)不必知道原始数据分布的先验特征, 对无规或不服从任何分布的任意光滑离散的原始序列, 通过有限次的生成即可转化成为有规序列;  
    (3)建模的精度较高, 可保持原系统的特征, 能较好地反映系统的实际状况。  
    本文选用灰色 GM（1,1）模型，并借助Python程序设计，使得对重庆房价进行预测研究具有可行性。

### 三、房价预测模型的建立 ###

#### 3.1、原始数据的获取 ####

重庆市区为四个直辖市之一，吸引着各地的眼光，外来人口不断增加，房地产行业也不断发展，如何更好的掌握商品房销售价格增长规律，对城市的发展至关重要。以重庆市区 2012-2020 年商品房销售价格为例，对模型的灵敏性进行检验，通过“安居客”平台统计资料可查得相关数据。通过Python程序设计计算GM（1,1）参数并进行拟合预测，代码见附录一。

#### 3.2、模型的应用 ####

根据灰色预测模型构建原理可得原始数据为：  
     \[ 6550 , 6896 , 6718 , 6289 , 7493 , 9925 , 12080 , 11187 , 11275 \] T \[ 6550, 6896, 6718, 6289, 7493,9925,12080,11187,11275\]^\{T\} \[6550,6896,6718,6289,7493,9925,12080,11187,11275\]T  
    对原始数列进行累加，生成累加生成序列为：  
     \[ 6550 , 13446 , 20164 , 26453 , 33946 , 43871 , 55951 , 67138 , 78413 \] T \[6550, 13446, 20164, 26453, 33946, 43871, 55951, 67138, 78413\]^\{T\} \[6550,13446,20164,26453,33946,43871,55951,67138,78413\]T

可求得参数B 矩阵：  
 B = \[ − 9.99800 e + 03 1 − 1.68050 e + 04 1 − 2.33085 e + 04 1 − 3.01995 e + 04 1 − 3.89085 e + 04 1 − 4.99110 e + 04 1 − 6.15445 e + 04 1 − 7.27755 e + 04 1 \] B = \\begin\{bmatrix\} -9.99800e+03 & 1\\\\ -1.68050e+04 & 1\\\\ -2.33085e+04& 1\\\\ -3.01995e+04& 1\\\\ -3.89085e+04 & 1\\\\ -4.99110e+04 & 1\\\\ -6.15445e+04 & 1\\\\ -7.27755e+04 & 1 \\end\{bmatrix\} B=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡−9.99800e\+03−1.68050e\+04−2.33085e\+04−3.01995e\+04−3.89085e\+04−4.99110e\+04−6.15445e\+04−7.27755e\+0411111111⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

y y y矩阵为：  
 y = \[ 6896 , 6718 , 6289 , 7493 , 9925 , 12080 , 11187 , 11275 \] T y= \[6896,6718, 6289, 7493, 9925,12080,11187,11275\]^\{T\} y=\[6896,6718,6289,7493,9925,12080,11187,11275\]T  
    将以上参数带入公式 GM（1,1）求解,最小二乘估计参数为:  
     a a a = -0.09682929, b b b =4549.89922748 , b / a b/a b/a = -46988.87347486  
    将求解的  a a a、 b b b 数值带入公式,可以得到 GM（1,1）模型的函数式将 2012-2020 年原始数据带入公式，即可求得相对应的预测值。

#### 3.3、房价预测及评价 ####

模型通过对房价进行预测，求得 2021-2023 年重庆市区商品房销售价格预测值，以及2012-2020 年的拟合值以及相对误差。

2021-2023 年重庆市区商品房销售价格预测值（元/m2）

2012-2020 年重庆市区商品房销售价格、检验值以及拟合相对误差

### 四、结论 ###

（1）求得 2021、2022、2023 年的预测值  
    （2）从上述对于 2012-2020 年的拟合值中可以发现，其拟合值并不等于真实值，且相对误差有一定波动，模型效果一般。  
    （3）针对上述（2）尚需改进的地方在于对拟合结果进行检验，判断GM（1,1）模型在本 问题研究中拟合效果的优良程度。

### 参考文献 ###

*\[1\]赵泰，迟建英.灰色 GM（1，1）模型在商品房销售价格预测中的应用\[J\].价值工程，2019.23（35）：76—77*  
*\[2\]王全意. 重庆直辖以来城乡居民收入差距变化趋势预测\[J\].重庆理工大学学报（社会学科），2011，25（1）：45—50*

### 附录一 ###

#项目：实现GM（1,1）模型，求解参数及预测拟合。
    #author：AdamCY888
    
    import numpy as np
    from math import e
    m = 0
    x0 = [ 6550, 6896,  6718, 6289, 7493,9925,12080,11187,11275]##2012-2020 年数据
    x1 = list()
    b = list()
    for i in x0:
          m += i
          x1.append(m) ## x1 为 x0 的一次累加向量
    for i in range(len(x0)-1):
          b.append(list((-0.5*(x1[i]+x1[i+1]),1)))
    B = np.mat(b) ##高维列表转换为矩阵
    Y = np.transpose(np.mat(x0[1:])) 
    a = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(np.transpose(B),B)),np.transpose(B)),Y)
    z = a[1]/a[0]
    print("一次累加序列矩阵为：\n",x1)
    print("B 矩阵为：\n",B)
    print("Y 矩阵为：\n",Y)
    print("最小二乘估计参数为:\n",a)
    print("a = %s,b = %s"%(a[0],a[1]))
    print("b/a = %s\n"%z)
    mmm = list()
    for i in range(len(x0)+2):
          A = (1-pow(e,float(a[0]))) * (x0[0] - z)*pow(e,-(float(a[0]))*(i+1) )
          mmm.append(A)
          print("%d 年的拟合值为%s" %(2013+i,A))
    for i in range(len(x0)-1):
          AA = 100*abs(x0[i+1] - mmm[i])/x0[i+1]
          print("%d 年相对误差为：%s"%(2013+i,AA))