灰色系统预测模型GM(1,1),GM(1,n)及Matlab实现

野性酷女 2023-02-12 11:19 27阅读 0赞

## 灰色系统预测模型GM(1,1),GM(1,n)及Matlab实现 ##

**1.灰色系统的定义：**  
灰色系统指既含有已知信息又含有未知信息的系统。  
**2.灰色预测模型的定义：**  
对灰色系统进行预测的模型。  
灰色模型（Grey Model，简称GM模型）一般表达方式为GM（n,x）模型，其含义是：用n阶微分方程对x个变量建立模型。  
**3.灰色预测模型的目的：**  
通过把分散在时间轴上的离散数据看成一组连续变化的序列，采用累加和累减的方式，将灰色系统中的未知因素弱化，强化已知因素的影响程度，最后构建一个以时间为变量的连续微分方程，通过数学方法确定方程中的参数，从而实现预测目的。  
**4.灰色系统预测模型的特点：**  
无需大量数据样本，短期预测效果好，运算过程简单。  
**5.灰色系统预测模型的不足：**  
对非线性数据样本预测效果差。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]基于Matlab实现GM(1,1)模型程序：

clear
    syms a u;
    c=[a,u]';%构成矩阵
    A=[15 16.1 17.3 18.4 18.7 19.6 19.9 21.3 22.5];%输入数据，可以修改
    Ago=cumsum(A);%原始数据一次累加,得到1-AGO序列xi(1)。
    n=length(A);%原始数据个数
    for k=1:(n-1)
        Z(k)=(Ago(k)+Ago(k+1))/2; %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列
    end
    Yn =A;%Yn为常数项向量
    Yn(1)=[]; %从第二个数开始，即x(2),x(3)...
    Yn=Yn';
    E=[-Z;ones(1,n-1)]';%累加生成数据做均值
    c=(E'*E)\(E'*Yn);%利用公式求出a，u
    c= c';
    a=c(1);%得到a的值
    u=c(2);%得到u的值
    F=[];
    F(1)=A(1);
    for k=2:(n)
        F(k)=(A(1)-u/a)/exp(a*(k-1))+u/a;%求出GM(1,1)模型公式
    end
    G=[];
    G(1)=A(1);
    for k=2:(n)
        G(k)=F(k)-F(k-1);%两者做差还原原序列，得到预测数据
    end
    t1=1:n;
    t2=1:n;
    plot(t1,A,'bo--');
    hold on;
    plot(t2,G,'r*-'); 
    title('预测结果');
    legend('真实值','预测值');
    %后验差检验
    e=A-G;
    q=e/A;%相对误差
    s1=var(A);
    s2=var(e);
    c=s2/s1;%方差比
    len=length(e);
    p=0;  %小误差概率
    for i=1:len
        if(abs(e(i))<0.6745*s1)
            p=p+1;
        end
    end
    p=p/len;

运行结果如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]p=1；c=0.0148；预测等级为：好  
从运行结果看，对于线性的数据使用GM(1,1)预测，其拟合效果还是不错。

【2】GM(1,n)模型及Matlab实现  
1.GM（1,n）模型的预测原理：与GM(1,1)类似，不同在于输入数据变量是n个。  
2. GM(1,n)模型的建模过程：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]![在这里插入图片描述][20200525212641592.png]基于Matlab实现GM(1,n)预测模型的程序：

A=[560823,542386,604834,591248,583031,640636,575688,689637,570790,519574,614677];
    x0=[104,101.8,105.8,111.5,115.97,120.03,113.3,116.4,105.1,83.4,73.3;
        135.6,140.2,140.1,146.9,144,143,133.3,135.7,125.8,98.5,99.8;
        131.6,135.5,142.6,143.2,142.2,138.4,138.4,135,122.5,87.2,96.5;
        54.2,54.9,54.8,56.3,54.5,54.6,54.9,54.8,49.3,41.5,48.9];
    [n,m]=size(x0);
    AGO=cumsum(A);
    T=1;
    x1=zeros(n,m+T);
     
    for k=1:(m-1)
        Z(k)=(AGO(k)+AGO(k+1))/2; %Z(i)为xi(1)的紧邻均值生成序列
    end
    for i=1:n
        for j=1:m
            for k=1:j
                x1(i,j)=x1(i,j)+x0(i,k);%原始数据一次累加,得到xi(1)
            end
        end
    end
    x11=x1(:,1:m);
    X=x1(:,2:m)';%截取矩阵
    Yn =A;%Yn为常数项向量
    Yn(1)=[]; %从第二个数开始，即x(2),x(3)...
    Yn=Yn';
    %Yn=A(:,2:m)';
    B=[-Z',X];
    C=((B'*B)\(B'*Yn))';%由公式建立GM(1,n)模型
    a=C(1);
    b=C(:,2:n+1);
    F=[];
    F(1)=A(1);
    u=zeros(1,m);
    for i=1:m
        for j=1:n
            u(i)=u(i)+(b(j)*x11(j,i));
        end
    end
    for k=2:m
        F(k)=(A(1)-u(k-1)/a)/exp(a*(k-1))+u(k-1)/a;
    end
    G=[];
    G(1)=A(1);
    for k=2:m
        G(k)=F(k)-F(k-1);%两者做差还原原序列，得到预测数据
    end
    t1=1:m;
    t2=1:m;
    plot(t1,A,'bo--');
    hold on;
    plot(t2,G,'r*-'); 
    title('销售预测结果');
    legend('真实值','预测值');

转载于：[转载地址][Link 1]。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020052521233078.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200525212351813.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200525212409803.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020052521242218.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020052521243988.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200525212538692.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200525212617880.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200525212631789.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MjgxODA3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[20200525212641592.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200525212641592.png
[Link 1]: https://blog.csdn.net/fengzhimohan/article/details/77540011