潜在因子模型（Latent Factor Models）求解过程

朱雀 2023-10-08 21:07 1阅读 0赞

潜在因子模型（Latent Factor Models）是一类常见的多元统计模型，用于探索观测数据中的潜在结构。该模型假设存在一些未被观察到的潜在因子或隐变量，这些潜在因子通过载荷矩阵与观测变量相关联。同时，潜在因子之间相互独立且与观测变量无关。其基本形式如下：

X = L F + Ψ \\mathbf\{X\} = \\mathbf\{LF\} + \\boldsymbol\{\\Psi\} X=LF\+Ψ

其中  X \\mathbf\{X\} X 是  n × p n \\times p n×p 的观测矩阵， L \\mathbf\{L\} L 是  p × k p \\times k p×k 的载荷矩阵， F \\mathbf\{F\} F 是  n × k n \\times k n×k 的潜在因子矩阵， Ψ \\boldsymbol\{\\Psi\} Ψ 是  n × p n \\times p n×p 的误差项。

当  k < p k<p k<p 时，潜在因子模型可以用于降维和特征提取，提高模型预测能力和解释性。而最小二乘法是求解载荷矩阵和潜在因子矩阵的常用方法。

在因子载荷矩阵的转置乘以因子载荷矩阵是单位阵的约束下，可得到以下最小二乘估计方法：

L ^ = ( X T X ) − 1 X T F \\hat\{\\mathbf\{L\}\} = (\\mathbf\{X\}^T\\mathbf\{X\})^\{-1\}\\mathbf\{X\}^T\\mathbf\{F\} L^=(XTX)−1XTF

其中， F \\mathbf\{F\} F 满足  F T F = I k \\mathbf\{F\}^T\\mathbf\{F\}= \\mathbf\{I\}\_k FTF=Ik 的约束条件，可以通过奇异值分解或主成分分析方法进行求解。通过将最小二乘估计方法代入原始模型，可以得到：

X ^ = L ^ F T \\hat\{\\mathbf\{X\}\} = \\hat\{\\mathbf\{L\}\}\\mathbf\{F\}^T X^=L^FT

接着，通过比较观测数据和其估计值的残差平方和来评价模型的拟合优度。

另一个常见的约束条件是，潜在因子矩阵的转置乘以潜在因子矩阵是对角阵的约束。在这种情况下，可以使用最小二乘估计方法求解载荷矩阵和潜在因子矩阵：

L ^ = ( F T F ) − 1 F T X \\hat\{\\mathbf\{L\}\} = (\\mathbf\{F\}^T\\mathbf\{F\})^\{-1\}\\mathbf\{F\}^T\\mathbf\{X\} L^=(FTF)−1FTX

F ^ = ( L T L ) − 1 L T X \\hat\{\\mathbf\{F\}\} = (\\mathbf\{L\}^T\\mathbf\{L\})^\{-1\}\\mathbf\{L\}^T\\mathbf\{X\} F^=(LTL)−1LTX

其中， L T L \\mathbf\{L\}^T\\mathbf\{L\} LTL 是  k × k k\\times k k×k 的对角矩阵， F T F \\mathbf\{F\}^T\\mathbf\{F\} FTF 是单位矩阵。同样地，通过将最小二乘估计方法代入原始模型，可以得到：

X ^ = L ^ F ^ T \\hat\{\\mathbf\{X\}\} = \\hat\{\\mathbf\{L\}\}\\hat\{\\mathbf\{F\}\}^T X^=L^F^T

最后，也可以通过奇异值分解等方法对载荷矩阵和潜在因子矩阵进行求解。