清风数学建模学习笔记——灰色关联分析(GRA)详细解读与案例分析

迈不过友情╰ 2023-10-11 15:18 79阅读 0赞

### 灰色关联分析 ###

**灰色关联分析的基本思想** 是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之则越小。

此方法可用于 **进行系统分析**，也可应用于对问题 **进行综合评价**。

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#### 目录 ####

*   *  灰色关联分析
     *  一、概述
     *  二、模型实现
     *   *  1. 应用一：进行系统分析
         *  2. 应用二：进行综合评价问题
     *  三、模型扩展（★）

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### 一、概述 ###

一般的抽象系统，如社会系统、经济系统、农业系统、生态系统、教育系统等都包含有许多种因素,多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。人们常常希望知道在众多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素；哪些因素对系统发展影响大，哪些因素对系统发展影响小；哪些因素对系统发展起推动作用需强化发展，哪些因素对系统发展起阻碍作用需加以抑制；这些都是系统分析中人们普遍关心的问题。例如，粮食生产系统,人们希望提高粮食总产量，而影响粮食总产量的因素是多方面的，有播种面积以及水利、化肥、土壤、种子、劳力、气候、耕作技术和政策环境等。为了实现少投人多产出，并取得良好的经济效益、社会效益和生态效益，就必须进行系统分析。

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### 二、模型实现 ###

灰色关联分析步骤实现大致分为以下几个步骤：

1.  指标正向化
2.  确定分析数列
3.  对变量进行预处理
4.  计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
5.  计算灰色关联度，并得出结论

在实际建模中，以上步骤不是特别固定，要根据实际的问题进行分析，下面拿两道例题进行说明。

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#### 1. 应用一：进行系统分析 ####

下表为某地区国内生产总值的统计数据（以百万元计），问该地区从 2000 年到 2005 年之间，哪一种产业对 GDP 总量影响最大。  
![在这里插入图片描述][20210121011157216.png_pic_center]

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**第一步：指标正向化**

所谓正向化处理，就是将极小型、中间型以及区间型指标统一转化为极大型指标。具体的正向化方法请查看：[TOPSIS法（优劣解距离法）][TOPSIS]

最终得到正向化处理的矩阵为X：  
 X = \[ x 11 x 12 ⋯ x 1 m x 21 x 22 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n m \] X= \\begin\{bmatrix\} x\_\{11\} & x\_\{12\} & \\cdots &x\_\{1m\} \\\\ x\_\{21\}& x\_\{22\} & \\cdots &x\_\{2m\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ x\_\{n1\}& x\_\{n2\} & \\cdots &x\_\{nm\} \\end\{bmatrix\} X=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1mx2m⋮xnm⎦⎥⎥⎥⎤

因为指标变量 国内产值、第一产业、第二产业、第三产业 都是为正向化指标，因此无需正向化。

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**第二步：确定分析数列**

1.  母序列（又称参考数列，母指标）：**能反映系统应为特征的数据序列**，其类似于因变量  Y Y Y，此处记为  x 0 x\_0 x0。
2.  子序列（又称比较数列，子指标）：**影响系统行为的因素组成的数据序列**，其类似于自变量  X X X，此处级位 （ x 1 , x 2 , ⋯   , x m ） （x\_1,x\_2,\\cdots,x\_m） （x1,x2,⋯,xm）

在本例中，国内总产值就是母序列，第一、第二和第三产业就是子序列。

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**第三步：对变量进行预处理**

对变量进行预处理的目的：1. 去除量纲的影响 2. 缩小变量范围简化计算

对母序列和子序列中的每个指标进行预处理，先求出每个指标的均值，再用该指标中的每个元素都除以其均值。

设标准化矩阵为  Z Z Z， Z Z Z 中元素记为  z i j z\_\{ij\} zij：  
 z i j = x i j x ˉ i j z\_\{ij\}=\\frac\{x\_\{ij\}\}\{\\bar x\_\{ij\}\} zij=xˉijxij  
得到标准化矩阵 Z：  
 Z = \[ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m \] Z= \\begin\{bmatrix\} z\_\{11\} & z\_\{12\} & \\cdots &z\_\{1m\} \\\\ z\_\{21\}& z\_\{22\} & \\cdots &z\_\{2m\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ z\_\{n1\}& z\_\{n2\} & \\cdots &z\_\{nm\} \\end\{bmatrix\} Z=⎣⎢⎢⎢⎡z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm⎦⎥⎥⎥⎤

本例中，得到的最终标准化矩阵矩阵为：  
![在这里插入图片描述][20210121021042967.png_pic_center]

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**第四步：计算子序列中各个指标与母序列的关联系数**

定义灰色系数，即各指标的关联系数为：  
 y ( x 0 ( k ) , x i ( k ) ) = a + ρ b ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ + ρ b ( i = 1 , 2 , ⋯   , m , k = 1 , 2 , ⋯   , n ) y(x\_0(k),x\_i(k))=\\frac\{a+\\rho b\}\{\\mid x\_0(k)-x\_i(k)\\mid + \\rho b\}\\quad( i=1,2,\\cdots,m,\\quad k=1,2,\\cdots,n) y(x0(k),xi(k))=∣x0(k)−xi(k)∣\+ρba\+ρb(i=1,2,⋯,m,k=1,2,⋯,n)

其中a 为两极最小差，b 为两极最大差，ρ 为分辨系数（一般取值0.5）

a = m i n i m i n k ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ b = m a x i m a x k ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ a=\\mathop\{min\}\\limits\_\{i\}\\mathop\{min\}\\limits\_\{k\} \\mid x\_0(k) -x\_i(k)\\mid\\\\ b=\\mathop\{max\}\\limits\_\{i\}\\mathop\{max\}\\limits\_\{k\} \\mid x\_0(k) -x\_i(k)\\mid a=iminkmin∣x0(k)−xi(k)∣b=imaxkmax∣x0(k)−xi(k)∣

那么根据以上步骤首先得出中间的差值矩阵：  
![在这里插入图片描述][2021012115142938.png_pic_center]  
根据以上矩阵得出 两级最小差  a a a = 0.0006，两级最大差  b b b = 0.1862。

最后根据关联系数公式，最终计算得出关联系数矩阵：

![在这里插入图片描述][20210121153249335.png_pic_center]

举例说明： 0.4751 = ( a + ρ b ) ( ∣ x 0 ( 1 ) − x 1 ( 1 ) ∣ + ρ b ) = ( 0.0006 + 0.5 × 0.1862 ) ( 0.1041 + 0.5 × 0.1862 ) 0.4751 = \\frac\{( a + ρb ) \}\{( | x\_0(1)-x\_1(1) | + ρb )\} = \\frac\{( 0.0006 + 0.5×0.1862)\}\{(0.1041 + 0.5×0.1862)\} 0.4751=(∣x0(1)−x1(1)∣\+ρb)(a\+ρb)=(0.1041\+0.5×0.1862)(0.0006\+0.5×0.1862)

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**第五步：计算灰色关联度，并得出结论**

定义  y ( x 0 , x i ) y(x\_0, x\_i) y(x0,xi) 为灰色关联度，即将关联系数矩阵每列求均值。

y ( x 0 , x i ) = 1 n ∑ k = 1 n y ( x 0 ( k ) , x i ( k ) ) y(x\_0,x\_i)=\\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{k=1\}^\{n\}\{y(x\_0(k),x\_i(k))\} y(x0,xi)=n1k=1∑ny(x0(k),xi(k))

那么我们得出：  y ( x 0 , x 1 ) = 0.5084 ， y ( x 0 , x 2 ) = 0.6243 ， y ( x 0 , x 3 ) = 0.7573 。 y(x\_0, x\_1)= 0.5084，y(x\_0, x\_2) = 0.6243，y(x\_0, x\_3) = 0.7573。 y(x0,x1)=0.5084，y(x0,x2)=0.6243，y(x0,x3)=0.7573。

**最终我们得出该地区在2000年至2005年间的国内总产值受第三产业影响最大。**

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#### 2. 应用二：进行综合评价问题 ####

综合评价问题的步骤大致分为以下几步：

1.  对指标进行正向化
2.  对正向化矩阵进行预处理
3.  将预处理后的具有真每一行取出最大值构成母序列
4.  计算各个指标与母序列的灰色关联度
5.  计算各个指标的权重
6.  计算每个评价对象的得分

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上面步骤加红的部分，值得注意，**当指标间没什么关系的时候，选择每行中最大的构成母序列。**

前四步，与上文的应用一对应，接下来求得指标的权重是将求得的灰色关联度进行归一化。然后计算每个评价对象的得分。上文我们通过标准化处理得到标准化矩阵 Z：  
 Z = \[ z 11 z 12 ⋯ z 1 m z 21 z 22 ⋯ z 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ z n 1 z n 2 ⋯ z n m \] Z= \\begin\{bmatrix\} z\_\{11\} & z\_\{12\} & \\cdots &z\_\{1m\} \\\\ z\_\{21\}& z\_\{22\} & \\cdots &z\_\{2m\} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ z\_\{n1\}& z\_\{n2\} & \\cdots &z\_\{nm\} \\end\{bmatrix\} Z=⎣⎢⎢⎢⎡z11z21⋮zn1z12z22⋮zn2⋯⋯⋱⋯z1mz2m⋮znm⎦⎥⎥⎥⎤

最后计算每个评价对象的得分：  
 S k = ∑ i = 1 m Z k i ω i , k = 1 , 2 , ⋯   , n S\_k=\\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{Z\_\{ki\}\\omega\_i\},\\quad k=1,2,\\cdots,n Sk=i=1∑mZkiωi,k=1,2,⋯,n

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### 三、模型扩展（★） ###

1.  **选择用标准化回归或者灰色关联分析的具体时机：**  
    当样本个数 n 较大时，一般使用标准化回归。当样本个数较少时，选择使用灰色关联分析。
2.  **如果母序列中含有多个指标应如何分析？**  
    例如：Y1 和 Y2 是母序列，X1,X2,…,Xm 是子序列。那么应首先计算 Y1 和 X1,X2,…,Xm 的灰色关联度进行分析，然后再计算 Y2 和 X1,X2,…,Xm 的灰色关联度进行分析。
3.  **灰色关联分析与熵权法都可进行客观的赋权，主要区别在于熵权法是根据数据的变异程度进行赋权，而灰色关联分析是根据序列几何形状的相似程度来进行赋权。这里推荐用熵权法，如果要用灰色关联分析，那么就需要有相应的统计图，这样更具说服力。**
4.  灰色数学的相关概念是国人提出来的，美赛不建议用！

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本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言，也可以点击查看下方链接查看清风老师的视频讲解~

**原文链接：**[https://www.bilibili.com/video/BV1DW411s7wi][https_www.bilibili.com_video_BV1DW411s7wi]

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[TOPSIS]: https://blog.csdn.net/weixin_43819566/article/details/112342602
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