清风数学建模学习笔记——灰色预测模型推导及原理详解

待我称王封你为后i 2023-10-11 15:22 1阅读 0赞

### 灰色预测模型 ###

灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。  
  灰色预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，并生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

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#### 目录 ####

*   *  灰色预测模型
     *  一、GM(1,1)模型简介
     *  二、GM(1,1)原理
     *  三、准指数规律的检验
     *  四、GM(1,1)模型的评价
     *  五、模型扩展（★）

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### 一、GM(1,1)模型简介 ###

GM(1,1)是最简单的灰色预测模型，它是使用原始的离散非负数据列，通过一次累加生成削弱随机性的较有规律的新的离散数据列，然后通过建立微分方程模型，得到在离散点处的解经过累减生成的原始数据的近似估计值，从而预测原始数据的后续发展。（本文中只探究 GM(1,1) 模型，第一个 1 表示微分方程是一阶的，后面的 1 表示只有一个变量）

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### 二、GM(1,1)原理 ###

设  x ( 0 ) = ( x ( 0 ) ( 1 ) ， x ( 0 ) ( 2 ) , ⋯   , x ( 0 ) ( n ) ) x^\{(0)\}=(x^\{(0)\}(1)，x^\{(0)\}(2),\\cdots,x^\{(0)\}(n)) x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2),⋯,x(0)(n)) 是最初非负数据列，对其一次累加得到新的生成数据  x ( 1 ) x^\{(1)\} x(1) 。

x ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) ， x ( 1 ) ( 2 ) , ⋯   , x ( 1 ) ( n ) ) x^\{(1)\}=(x^\{(1)\}(1)，x^\{(1)\}(2),\\cdots,x^\{(1)\}(n)) x(1)=(x(1)(1)，x(1)(2),⋯,x(1)(n))，其中： x ( 1 ) ( m ) = ∑ i = 1 m x ( 0 ) ( i ) , m = 1 , 2 , ⋯   , n x^\{(1)\}(m)=\\sum\_\{i=1\}^\{m\}\{x^\{(0)\}(i)\},m=1,2,\\cdots,n x(1)(m)=∑i=1mx(0)(i),m=1,2,⋯,n。

令 z ( 1 ) z^\{(1)\} z(1) 为数列  x ( 1 ) x^\{(1)\} x(1) 的紧邻生成数列，即  z ( 1 ) = ( z ( 1 ) ( 1 ) ， z ( 1 ) ( 2 ) , ⋯   , z ( 1 ) ( n ) ) z^\{(1)\}=(z^\{(1)\}(1)，z^\{(1)\}(2),\\cdots,z^\{(1)\}(n)) z(1)=(z(1)(1)，z(1)(2),⋯,z(1)(n))，其中:  z ( 1 ) ( m ) = δ x ( 1 ) ( m ) + ( 1 − δ ) x ( 1 ) ( m − 1 ) , m = 2 , 3 , ⋯ z^\{(1)\}(m)=\\delta x^\{(1)\}(m)+(1-\\delta)x^\{(1)\}(m-1),m=2,3,\\cdots z(1)(m)=δx(1)(m)\+(1−δ)x(1)(m−1),m=2,3,⋯, n n n 且  δ = 0.5 \\delta =0.5 δ=0.5。  
  ![在这里插入图片描述][20210215205445949.png_pic_left]     ![在这里插入图片描述][20210215205518776.png_pic_left]

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我们称方程  x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b x^\{(0)\}(k)+az^\{(1)\}(k)=b x(0)(k)\+az(1)(k)=b 为 GM(1,1) 模型的基本形式（k=2,3,…,n），其中，  b b b 表示灰作用量。  − a -a −a 表示发展系数。下面引入矩阵形式：  
 u = ( a , b ) T , Y = \[ x ( 0 ) ( 2 ) x ( 0 ) ( 3 ) ⋮ x ( 0 ) ( n ) \] , B = \[ − z ( 1 ) ( 2 ) 1 − z ( 1 ) ( 3 ) 1 ⋮ ⋮ − z ( 1 ) ( n ) 1 \] u=(a,b)^T,\\quad Y=\\left\[ \\begin\{array\}\{c\} x^\{(0)\}(2)\\\\ x^\{(0)\}(3)\\\\ \\vdots \\\\ x^\{(0)\}(n) \\end\{array\}\\right\],\\quad B=\\left\[ \\begin\{array\}\{c\} -z^\{(1)\}(2)\\quad 1\\\\ -z^\{(1)\}(3)\\quad 1\\\\ \\quad\\vdots \\quad\\qquad \\vdots \\\\ -z^\{(1)\}(n)\\quad 1 \\end\{array\}\\right\] u=(a,b)T,Y=⎣⎢⎢⎢⎡x(0)(2)x(0)(3)⋮x(0)(n)⎦⎥⎥⎥⎤,B=⎣⎢⎢⎢⎡−z(1)(2)1−z(1)(3)1⋮⋮−z(1)(n)1⎦⎥⎥⎥⎤

于是，GM(1,1) 模型  x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b x^\{(0)\}(k)+az^\{(1)\}(k)=b x(0)(k)\+az(1)(k)=b 可表示为： Y = B u \\bf Y=Bu Y=Bu  
  利用最小二乘法得到参数 a,b 的估计值为：  
 u ^ = ( a ^ b ^ ) = ( B T B ) − 1 B T Y \\color\{fuchsia\}\{ \\hat u=\\left( \\begin\{array\}\{c\} \\hat a\\\\ \\hat b\\\\ \\end\{array\} \\right)=\\bf (B^TB)^\{-1\}B^TY\} u^=(a^b^)=(BTB)−1BTY

**实际上就是将  x ( 0 ) x^\{(0)\} x(0) 序列视为因变量  y y y,  z ( 1 ) z^\{(1)\} z(1) 序列是为自变量  x x x，进行回归。**  
 x ( 0 ) ( k ) = − a z ( 1 ) ( k ) + b ⇒ y = k x + b \\color\{red\}\{\\bf x^\{(0)\}(k)=-az^\{(1)\}(k)+b \\quad\\Rightarrow\\quad y=kx+b\} x(0)(k)=−az(1)(k)\+b⇒y=kx\+b

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引入最小二乘法(OLS)

最小二乘法定义：  
 y i ^ = k x i + b , k ^ , b ^ = a r g min ⁡ k , b ( ∑ i = 1 n ( y i − y i ^ ) 2 ) = a r g min ⁡ k , b ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 \\hat\{y\_i\} =kx\_i+b,\\quad \\hat\{k\},\\hat\{b\}=\\mathop\{arg\\min\}\\limits\_\{k,b\}(\\sum\_\{i=1\}^\{n\} (y\_i-\\hat\{y\_i\})^2)= \\mathop\{arg\\min\}\\limits\_\{k,b\} \\sum\_\{i=1\}^\{n\}\{(y\_i-kx\_i-b)^2\} yi^=kxi\+b,k^,b^=k,bargmin(i=1∑n(yi−yi^)2)=k,bargmini=1∑n(yi−kxi−b)2

我们令：  
 L = ∑ i = 1 n ( y i − k x i − b ) 2 = \[ y 1 − k x 1 − b , y 2 − k x 2 − b , ⋯   , y n − k x n − b \] \[ y 1 − k x 1 − b y 2 − k x 2 − b ⋮ y n − k x n − b \] L=\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(y\_i-kx\_i-b)^2=\[y\_1-kx\_1-b,y\_2-kx\_2-b,\\cdots,y\_n-kx\_n-b\] \\left\[ \\begin\{array\}\{c\} y\_1-kx\_1-b\\\\ y\_2-kx\_2-b\\\\ \\vdots\\\\ y\_n-kx\_n-b\\\\ \\end\{array\} \\right\] L=i=1∑n(yi−kxi−b)2=\[y1−kx1−b,y2−kx2−b,⋯,yn−kxn−b\]⎣⎢⎢⎢⎡y1−kx1−by2−kx2−b⋮yn−kxn−b⎦⎥⎥⎥⎤

并且令：  
 矩 阵 Y = \[ y 1 y 2 ⋮ y n \] , X = \[ 1 x 1 1 x 2 ⋮ ⋮ 1 x n \] , β = \[ b k \] 矩阵 Y = \\left\[ \\begin\{array\}\{c\} y\_1\\\\ y\_2\\\\ \\vdots\\\\ y\_n\\\\ \\end\{array\} \\right\],\\quad X=\\left\[ \\begin\{array\}\{c\} 1 \\quad x\_1\\\\ 1 \\quad x\_2\\\\ \\vdots \\text\{ \}\\quad\\text\{ \}\\vdots\\\\ 1 \\quad x\_n\\\\ \\end\{array\} \\right\],\\quad \\beta= \\left\[ \\begin\{array\}\{c\} b\\\\ k\\\\ \\end\{array\} \\right\] 矩阵Y=⎣⎢⎢⎢⎡y1y2⋮yn⎦⎥⎥⎥⎤,X=⎣⎢⎢⎢⎡1x11x2⋮⋮1xn⎦⎥⎥⎥⎤,β=\[bk\]

那么：  
 X β = \[ b + k x 1 b + k x 2 ⋮ b + k x n \] , Y − X β = \[ y 1 − k x 1 − b y 2 − k x 2 − b ⋮ y n − k x n − b \] X\\beta=\\left\[ \\begin\{array\}\{c\} b+kx\_1\\\\ b+kx\_2\\\\ \\vdots\\\\ b+kx\_n\\\\ \\end\{array\} \\right\],\\quad Y-X\\beta=\\left\[ \\begin\{array\}\{c\} y\_1-kx\_1-b\\\\ y\_2-kx\_2-b\\\\ \\vdots\\\\ y\_n-kx\_n-b\\\\ \\end\{array\} \\right\] Xβ=⎣⎢⎢⎢⎡b\+kx1b\+kx2⋮b\+kxn⎦⎥⎥⎥⎤,Y−Xβ=⎣⎢⎢⎢⎡y1−kx1−by2−kx2−b⋮yn−kxn−b⎦⎥⎥⎥⎤

所以有：  
 L = ( Y − X β ) T ( Y − X β ) = ( Y T − β T X T ) ( Y − X β ) = Y T Y − Y T X β − β T X T Y + β T X T X β 则 β ^ = \[ b ^ k ^ \] = a r g min ⁡ β ( L ) = a r g m i n β = ( Y T Y − Y T X β − β T X T Y + β T X T X β ) \\begin\{array\}\{l\} L=(Y-X\\beta)^T(Y-X\\beta) \\\\ \\quad=(Y^T-\\beta^TX^T)(Y-X\\beta)\\\\ \\quad=Y^TY-Y^TX\\beta-\\beta^TX^TY+\\beta^TX^TX\\beta \\\\ \\end\{array\}\\\\ 则 \\text\{ \}\\hat \\beta=\\left\[ \\begin\{array\}\{c\} \\hat b\\\\ \\hat k\\\\ \\end\{array\} \\right\]=\\mathop\{arg\\min\}\\limits\_\{\\beta\}\{(L)\}=\\mathop\{argmin\}\\limits\_\{\\beta\}=(Y^TY-Y^TX\\beta-\\beta^TX^TY+\\beta^TX^TX\\beta)\\\\ L=(Y−Xβ)T(Y−Xβ)=(YT−βTXT)(Y−Xβ)=YTY−YTXβ−βTXTY\+βTXTXβ则β^=\[b^k^\]=βargmin(L)=βargmin=(YTY−YTXβ−βTXTY\+βTXTXβ)

对矩阵求导：  
 d L d t = − X T Y − X T Y + 2 X T X β = 0 ⇒ X T X β = X T Y \\frac \{dL\}\{dt\}=-X^TY-X^TY+2X^TX\\beta=0\\Rightarrow X^TX\\beta=X^TY\\\\ dtdL=−XTY−XTY\+2XTXβ=0⇒XTXβ=XTY

所以：  
 β ^ = ( X T X ) − 1 X T Y \\color\{fuchsia\}\{\\bf\\hat\\beta=(X^TX)^\{-1\}X^TY\} β^=(XTX)−1XTY

[  最小二乘法可参考：https://blog.csdn.net/weixin\_43819566/article/details/113091852][https_blog.csdn.net_weixin_43819566_article_details_113091852]

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利用 OLS 估计的回归结果可以得出  a ^ \\hat a a^ 和  b ^ \\hat b b^，即  x ( 0 ) ( k ) = − a ^ z ( 1 ) ( k ) + b ^ ( k = 2 , 3 , ⋯   , n ) x^\{(0)\}\{(k)\}=-\\hat az^\{(1)\}(k)+\\hat b \\quad (k=2,3,\\cdots,n) x(0)(k)=−a^z(1)(k)\+b^(k=2,3,⋯,n)

x ( 0 ) ( k ) = − a ^ z ( 1 ) ( k ) + b ^ ⇒ x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) = − a ^ z ( 1 ) ( k ) + b ^ x^\{(0)\}\{(k)\}=-\\hat az^\{(1)\}(k)+\\hat b \\Rightarrow \\color \{blue\} \{ x^\{(1)\}(k)-x^\{(1)\}(k-1) \\color\{black\}\{\\text\{ \} = \\text\{ \}-\\hat a \} \\color\{fuchsia\}\{ z^\{(1)\}(k)\}\} \\color\{black\}\{\\text\{ \}+\\text\{ \}\} \\color\{red\}\{\\hat b\} x(0)(k)=−a^z(1)(k)\+b^⇒x(1)(k)−x(1)(k−1)=−a^z(1)(k)\+b^

对于以上式子:  
 等 式 左 边 ： x ( 1 ) ( k ) − x ( 1 ) ( k − 1 ) = ∫ k − 1 k d x ( 1 ) ( t ) d t   d t ( 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 ) 等 式 右 边 ： z ( 1 ) ( k ) = x ( 1 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k − 1 ) 2 ≈ ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t ( 定 积 分 几 何 意 义 ) 等式左边：\\color \{blue\} \{ x^\{(1)\}(k)-x^\{(1)\}(k-1)\}\\color\{\#000\}\{ = \\int\_\{k-1\}^k \{\\frac\{dx^\{(1)\}(t)\}\{dt\}\} \\,dt\}\\quad(牛顿莱布尼茨公式)\\\\ 等式右边：\\color \{fuchsia\} \{z^\{(1)\}(k)\} \\color \{black\} \{\\text\{ \} =\\text\{ \} \\frac\{x^\{(1)\}(k)+x^\{(1)\}(k-1)\}\{2\}\}\\approx \\int\_\{k-1\}^k x^\{(1)\}(t)dt\\quad(定积分几何意义) 等式左边：x(1)(k)−x(1)(k−1)=∫k−1kdtdx(1)(t)dt(牛顿莱布尼茨公式)等式右边：z(1)(k)=2x(1)(k)\+x(1)(k−1)≈∫k−1kx(1)(t)dt(定积分几何意义)

![在这里插入图片描述][20210216021247340.png_pic_center]

∫ k − 1 k d x ( 1 ) ( t ) d t   d t ≈ − a ^ ∫ k − 1 k x ( 1 ) ( t ) d t + ∫ k − 1 k b ^ d t = ∫ k − 1 k \[ − a ^ x ( 1 ) ( t ) + b ^ \] d t \\color\{blue\}\{\\int\_\{k-1\}^k \{\\frac\{dx^\{(1)\}(t)\}\{dt\}\} \\,dt\}\\color\{black\}\{\\text\{ \}\\approx\\text\{ \}-\\hat a\}\\color\{fuchsia\}\{\\int\_\{k-1\}^k x^\{(1)\}(t)dt\}\\color\{black\}\{\\text\{ \}+\\text\{ \}\}\\color\{red\}\{\\int\_\{k-1\}^k \\hat b dt\}\\color\{black\}\{=\\int\_\{k-1\}^k\\left\[-\\hat ax^\{(1)\}(t)+\\hat b\\right\]\}dt ∫k−1kdtdx(1)(t)dt≈−a^∫k−1kx(1)(t)dt\+∫k−1kb^dt=∫k−1k\[−a^x(1)(t)\+b^\]dt

微 分 方 程 ： d x ( 1 ) ( t ) d t = − a ^ x ( 1 ) ( t ) + b ^ 被 称 为 G M ( 1 , 1 ) 模 型 的 白 化 方 程 微分方程：\\bf\\frac\{dx^\{(1)\}(t)\}\{dt\}=-\\hat ax^\{(1)\}(t)+\\hat b\\quad被称为\\text\{ \}GM(1,1)\\text\{ \}模型的白化方程 微分方程：dtdx(1)(t)=−a^x(1)(t)\+b^被称为GM(1,1)模型的白化方程

x ( 0 ) ( k ) + a z ( 1 ) ( k ) = b 被 称 为 G M ( 1 , 1 ) 的 灰 色 微 分 方 程 \\bf x^\{(0)\}(k)+az^\{(1)\}(k)=b被称为\\text\{ \}GM(1,1)\\text\{ \}的灰色微分方程 x(0)(k)\+az(1)(k)=b被称为GM(1,1)的灰色微分方程

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白化方程求解：

白化方程： d x ( 1 ) ( t ) d t = − a ^ x ( 1 ) ( t ) + b ^ \\frac\{dx^\{(1)\}(t)\}\{dt\}=-\\hat ax^\{(1)\}(t)+\\hat b dtdx(1)(t)=−a^x(1)(t)\+b^，如果取初始值  x ^ ( 1 ) ( t ) ∣ t = 1 = x ( 0 ) ( 1 ) \\hat x^\{(1)\}(t)\\mid\_\{t=1\}=x^\{(0)\}(1) x^(1)(t)∣t=1=x(0)(1)，可求出对应的解为：  
 x ( 1 ) ( t ) = \[ x ( 0 ) ( 1 ) − b ^ a ^ \] e − a ^ ( t − 1 ) + b ^ a ^ 所 以 x ( 1 ) ( m + 1 ) = \[ x ( 0 ) ( 1 ) − b ^ a ^ \] e − a ^ ( m ) + b ^ a ^ , m = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 x^\{(1)\}(t)=\\left\[ x^\{(0)\}(1)-\\frac\{\\hat b\}\{\\hat a\}\\right\]e^\{-\\hat a(t-1)\}+\\frac\{\\hat b\}\{\\hat a\}\\\\ 所以\\quad x^\{(1)\}(m+1)=\\left\[ x^\{(0)\}(1)-\\frac\{\\hat b\}\{\\hat a\}\\right\]e^\{-\\hat a(m)\}+\\frac\{\\hat b\}\{\\hat a\},\\quad m=1,2,\\cdots,n-1 x(1)(t)=\[x(0)(1)−a^b^\]e−a^(t−1)\+a^b^所以x(1)(m\+1)=\[x(0)(1)−a^b^\]e−a^(m)\+a^b^,m=1,2,⋯,n−1

由于  x ( 1 ) ( m ) = ∑ i = 1 m x ( 0 ) ( i ) ， m = 1 , 2 , ⋯   , n x^\{(1)\}(m)=\\displaystyle\\sum\_\{i=1\}^\{m\}x^\{(0)\}(i)，m=1,2,\\cdots,n x(1)(m)=i=1∑mx(0)(i)，m=1,2,⋯,n，所以可以得到：  
 x ( 0 ) ( m + 1 ) = x ( 1 ) ( m + 1 ) − x ( 1 ) ( m ) = ( 1 − e a ^ ) \[ x ( 0 ) ( 1 ) − b ^ a ^ \] e − a ^ ( m ) + b ^ a ^ , m = 1 , 2 , ⋯   , n − 1 \\bf x^\{(0)\}(m+1)=x^\{(1)\}(m+1)-x^\{(1)\}(m)=(1-e^\{\\hat a\})\\left\[ x^\{(0)\}(1)-\\frac\{\\hat b\}\{\\hat a\}\\right\]e^\{-\\hat a(m)\}+\\frac\{\\hat b\}\{\\hat a\},\\quad m=1,2,\\cdots,n-1 x(0)(m\+1)=x(1)(m\+1)−x(1)(m)=(1−ea^)\[x(0)(1)−a^b^\]e−a^(m)\+a^b^,m=1,2,⋯,n−1

如果对原始数据进行预测，那么只需要在上式  m ≥ n m≥n m≥n 即可。

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GM(1,1)模型的本质是有条件的指数拟合： f ( x ) = C 1 e C 2 ( x − 1 ) f(x)=C\_1e^\{C\_2(x-1)\} f(x)=C1eC2(x−1)，其中这里的指数规律阵对  x ( 1 ) ( k ) x^\{(1)\}(k) x(1)(k) 序列而言，原始数据是做差的结果。

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### 三、准指数规律的检验 ###

1.  数据具有准指数规律是使用灰色系统建模的理论基础。
2.  累加  r r r 次的序列为  x ( r ) = ( x ( r ) ( 1 ) ， x ( r ) ( 2 ) , ⋯   , x ( r ) ( n ) ) x^\{(r)\}=(x^\{(r)\}(1)，x^\{(r)\}(2),\\cdots,x^\{(r)\}(n)) x(r)=(x(r)(1)，x(r)(2),⋯,x(r)(n))，定义级比  σ ( k ) = x ( r ) ( k ) x ( r ) ( k − 1 ) , k = 2 , 3 , ⋯   , n \\sigma(k)=\\frac\{x^\{(r)\}(k)\}\{x^\{(r)\}(k-1)\},k=2,3,\\cdots,n σ(k)=x(r)(k−1)x(r)(k),k=2,3,⋯,n。
3.  如果  ∀ k , σ ( k ) ∈ \[ a , b \] \\forall k,\\sigma(k) \\in\[a,b\] ∀k,σ(k)∈\[a,b\]，且区间长度  δ = b − a ＜ 0.5 \\delta=b-a＜0.5 δ=b−a＜0.5，则称累加  r r r 次后的序列具有准指数规律。
4.  具体到 GM(1,1) 模型中，我们只需判断累加一次后的序列  x ( 1 ) = ( x ( 1 ) ( 1 ) , x ( 1 ) ( 2 ) , ⋯   , x ( 1 ) ( n ) ) x^\{(1)\}=(x^\{(1)\}(1),x^\{(1)\}(2),\\cdots,x^\{(1)\}(n)) x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),⋯,x(1)(n)) 是否存在准指数规律。
5.  根据上述公式：  
    序列  x ( 1 ) x^\{(1)\} x(1) 的级比  σ ( k ) = x ( 1 ) ( k ) x ( 1 ) ( k − 1 ) = x ( 0 ) ( k ) + x ( 1 ) ( k − 1 ) x ( 1 ) ( k − 1 ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 1 ) ( k − 1 ) + 1 \\sigma(k)=\\frac\{x^\{(1)\}(k)\}\{x^\{(1)\}(k-1)\}=\\frac\{x^\{(0)\}(k)+x^\{(1)\}(k-1)\}\{x^\{(1)\}(k-1)\}=\\frac\{x^\{(0)\}(k)\}\{x^\{(1)\}(k-1)\}+1 σ(k)=x(1)(k−1)x(1)(k)=x(1)(k−1)x(0)(k)\+x(1)(k−1)=x(1)(k−1)x(0)(k)\+1  
    定义  ρ ( k ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 1 ) ( k − 1 ) \\rho(k)=\\frac\{x^\{(0)\}(k)\}\{x^\{(1)\}(k-1)\} ρ(k)=x(1)(k−1)x(0)(k) 为原始序列  x ( 0 ) x^\{(0)\} x(0) 的光滑比，注意到：  ρ ( k ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( 1 ) + x ( 0 ) ( 2 ) + ⋯ + x ( 0 ) ( k − 1 ) \\rho(k)=\\frac\{x^\{(0)\}(k)\}\{x^\{(0)\}(1)+x^\{(0)\}(2)+\\cdots+x^\{(0)\}(k-1)\} ρ(k)=x(0)(1)\+x(0)(2)\+⋯\+x(0)(k−1)x(0)(k)  
    假设  x ( 0 ) x^\{(0)\} x(0) 为非负序列，那么随着  k k k 增加，最终  ρ ( k ) \\rho(k) ρ(k) 会逐渐接近 0，因此要是的具有  x ( 1 ) x^\{(1)\} x(1) 具有准指数规律，即  ∀ k \\forall k ∀k，区间长度  δ \\delta δ ＜0.5，只需要保证  ρ ( k ) ∈ ( 0 , 0.5 ) \\rho(k)∈(0,0.5) ρ(k)∈(0,0.5) 即可，此时序列  x ( 1 ) x^\{(1)\} x(1) 的级比  σ ( k ) ∈ ( 1 , 1.5 ) \\sigma(k)∈(1,1.5) σ(k)∈(1,1.5) 。

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**注意：一般前两期： ρ ( 2 ) \\rho(2) ρ(2) 和  ρ ( 3 ) \\rho(3) ρ(3) 可能不符合要求，重点关注后面的期数。**

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### 四、GM(1,1)模型的评价 ###

使用 GM(1,1) 模型对未来的数据进行预测时，首先需要检验 GM(1,1) 模型对原数据的拟合程度（对原始数据的还原效果）。一般有两种方法：残差检验和级比偏差检验。

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残差检验：

绝对残差： ε ( k ) = x ( 0 ) ( k ) − x ^ ( 0 ) ( k ) ， k = 2 , 3 , ⋯   , n \\varepsilon(k)=x^\{(0)\}(k)-\\hat x^\{(0)\}(k)，k=2,3,\\cdots,n ε(k)=x(0)(k)−x^(0)(k)，k=2,3,⋯,n  
  相对残差：  ε r ( k ) = ∣ x ( 0 ) − x ^ ( 0 ) ( k ) ∣ x ( 0 ) ( k ) × 100 % ， k = 2 , 3 , ⋯   , n \\varepsilon\_r(k)=\\frac\{|x^\{(0)\}-\\hat x^\{(0)\}(k)|\}\{ x^\{(0)\}(k)\}\\times100\\%，k=2,3,\\cdots,n εr(k)=x(0)(k)∣x(0)−x^(0)(k)∣×100%，k=2,3,⋯,n

平均相对残差：  
 ε ‾ r = 1 n − 1 ∑ k = 2 n ∣ ε r ( k ) ∣ \\overline \\varepsilon\_r = \\frac\{1\}\{n-1\} \\sum\_\{k=2\}^\{n\}|\\varepsilon\_r(k)| εr=n−11k=2∑n∣εr(k)∣

*  如果  ε ‾ r ＜ 20 % \\overline \\varepsilon\_r＜ 20\\% εr＜20%，则认为 GM(1,1) 对原始数据的拟合达到了一般要求。
 *  如果  ε ‾ r ＜ 10 % \\overline \\varepsilon\_r＜ 10\\% εr＜10%，则认为 GM(1,1) 对原始数据的拟合达效果非常不错。（10%不绝对）

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级比偏差检验：

首先由  x ( 0 ) ( k − 1 ) x^\{(0)\}(k-1) x(0)(k−1) 和 x ( 0 ) ( k ) x^\{(0)\}(k) x(0)(k) 计算出原始数据的级比  σ ( k ) \\sigma(k) σ(k)：  
 σ ( k ) = x ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k − 1 ) , ( k = 2 , 3 , ⋯   , n ) \\sigma(k)=\\frac\{x^\{(0)\}(k)\}\{x^\{(0)\}(k-1)\},\\quad(k=2,3,\\cdots,n) σ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),(k=2,3,⋯,n)

再根据预测出来的发展系数  ( − a ^ ) (-\\hat a) (−a^) 计算出相应的级比偏差和平均级比偏差:  
 η ( k ) = ∣ 1 − 1 − 0.5 a ^ 1 + 0.5 a ^ 1 σ ( k ) ∣ , η ˉ = ∑ k = 2 n η ( k ) n − 1 \\eta(k)=\\left|1-\\frac\{1-0.5\\hat a\}\{1+0.5\\hat a\}\\frac\{1\}\{\\sigma(k)\}\\right|,\\quad \\bar \\eta=\\sum\_\{k=2\}^\{n\}\\frac\{\\eta(k)\}\{n-1\} η(k)=∣∣∣∣1−1\+0.5a^1−0.5a^σ(k)1∣∣∣∣,ηˉ=k=2∑nn−1η(k)

*  如果  η ˉ ＜ 0.2 \\bar \\eta＜ 0.2 ηˉ＜0.2，则认为 GM(1,1) 对原始数据的拟合达到了一般要求。
 *  如果  η ˉ ＜ 0.1 \\bar \\eta＜ 0.1 ηˉ＜0.1，则认为 GM(1,1) 对原始数据的拟合达效果非常不错。

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检验的原理： η ( k ) \\eta(k) η(k) 越小，说明  x ( 0 ) ( k ) x^\{(0)\}(k) x(0)(k) 和  x ^ ( 0 ) ( k ) \\hat x^\{(0)\}(k) x^(0)(k) 越接近。特别地，当  η ( k ) = 0 \\eta(k)=0 η(k)=0 时，可以得到：  
 σ ( k ) = 1 − 0.5 a ^ 1 + 0.5 a ^ = x ^ ( 0 ) ( k ) x ( 0 ) ( k − 1 ) \\sigma(k)=\\frac\{1-0.5\\hat a\}\{1+0.5\\hat a\}=\\frac\{\\hat x^\{(0)\}(k)\}\{x^\{(0)\}(k-1)\} σ(k)=1\+0.5a^1−0.5a^=x(0)(k−1)x^(0)(k)

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### 五、模型扩展（★） ###

1.  数据是以年份度量的非负数据（如果是月份或者季度数据就要用 时间序列模型);
2.  **数据能经过准指数规律的检验**（除了前两期外，后面至少90%的期数的光滑比要低于0.5，规定的 90% 不绝对) ;
3.  数据的期数较短且和其他数据之间的**关联性不强**（小于等于10，也不能太短了，比如只有 3 期数据），要是数据期数较长，一般用传统的时间序列模型比较合适。
4.  在传统的 GM(1,1) 模型的基础上，每预测一次，将预测的数据作为已知数据进行下一次预测，那么这种模型为 新信息 GM(1,1) 模型。在新信息 GM(1,1) 模型的基础上，去掉最老信息  x ( 0 ) ( 1 ) x^\{(0)\}(1) x(0)(1) ，那么这种模型为 新陈代谢 GM(1,1) 模型。应对比传统GM(1,1)、新信息 GM(1,1) 、新陈代谢 GM(1,1) 三种模型的预测效果，抉择使用。

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本文借鉴了数学建模清风老师的课件与思路，如果大家发现文章中有不正确的地方，欢迎大家在评论区留言，也可以点击查看下方链接查看清风老师的视频讲解~

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