蚁群算法解决TSP（旅行商）问题

你的名字 2023-10-12 14:08 22阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  一、前言
 *   *  蚁群算法的基本原理：
     *  其中的基本过程
 *  二、状态问题
 *   *  1.城市被选择的概率由距离和信息素浓度共同决定
     *  2.信息素更新
 *  三、整体实现

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## 一、前言 ##

`蚁群算法（Ant Colony Optimization，ACO）是一种模拟自然界中蚂蚁觅食行为的优化算法。`在蚁群算法中，蚂蚁寻找食物的方式被模拟为一种通过信息素通信来协作搜索解空间的算法。

蚁群算法要求考虑到多个蚂蚁之间相互交流信息的影响，因此也称作反向分布式系统中的元启发式，并已经成功用于旅行商问题（TSP）、车辆路径规划问题（VRP）等优化领域。它利用蚁群通过沿着积累了更多信息素的路径通信，集体行动实现优化目标的最大化或最小化，同时还具有鲁棒性、适应性强等优点。蚂蚁算法可以简单易用地处理复杂的组合优化问题，这些问题在传统优化算法中非常难以解决。

![在这里插入图片描述][786a12e3a11740f28e1ac3dded3bb5da.jpeg_pic_center]

### 蚁群算法的基本原理： ###

蚂蚁在路径上释放信息素，如果遇到没有走过的路口，就随机选择一个路径行走。同时，释放与路径长度有关的信息素，信息素浓度与路径长度成反比。后来的蚂蚁再次碰到该路口时就选择信息素浓度较高的路径，由于走的蚂蚁多，故最优路径上的浓度越来越大，最终蚁群找到最优寻食路径。

### 其中的基本过程 ###

**1.初始化信息素和距离矩阵：** 定义初始城市路径和信息素矩阵、计算城市之间的距离矩阵。

**2.蚂蚁寻径：** 每个蚂蚁依次从起点出发，根据已有信息素和启发式规则（例如较短路径和较小价值）选择下一个城市。

**3.更新信息素：** 根据每个蚂蚁走过路径的质量，在路径上留下新的信息素。

**4.计算路径长度：** 计算每条路径的长度。

**5.更新最优路径：** 更新存储已发现最优路径。

然后就不断的重复步骤2-5直到符合停止条件（例如达到预定迭代次数或者路径长度足够接近最佳路径），就会得到全局最优解或接近最优的解。

**实现步骤需要考虑一些细节，例如实际中如何转化城市、如何更新信息素、如何建立随机概率模型等问题。** 具体来说，`每个蚂蚁需要记录它所访问的城市和所留下的路径信息素，以及通过某种随机方式在选择下一个城市时引入一定的探索性。若在已访问的城市集合中不存在未访问过的城市，蚂蚁就返回出发城市`。  
最后，从所有完成迭代的蚂蚁中找到最小路径长度和对应的路径即可。当然，要建立合适的实验环境和调整参数，以保证算法的有效性和性能。

## 二、状态问题 ##

假设有n个城市，则用一个长度为n的01串来表示一个可行的解（路径），其中每个0或1代表这条路径中对应位置的城市是否被访问过。例如，1101001表示这样的一条路径：第1、2、5、7个城市被访问过，而其它城市没有，这是一种经典的遗传算法（GA）的编码方式。

`在蚁群算法中，可以直接使用与遗传算法类似的方式来进行状态的表示和操作，不过需要注意以下几点：`

信息素矩阵的维度要对应城市的数量，以便蚂蚁在路径选择时可正常参考信息素矩阵。

在更新信息素时，需要特别关注路径端点处的信息素更新规则以及数据结构的选择，例如**多次迭代时如何递减信息素强度？**

在探索新路径时，需要避免在已经访问过的城市中再次搜索，同时还要避免陷入死循环和过早收敛等问题。

针对以上问题，可以结合具体的场景和应用需求进行实现和调试，以获得更优的效果。

### 1.城市被选择的概率由距离和信息素浓度共同决定 ###

![在这里插入图片描述][985da3dee29d451684f27d19c5792032.png]  
**蚂蚁在选择要走的城市的时候，为了避免陷入局部最优解，故不能够只选择信息素浓度大和距离小的路径，在这里可以采用轮盘赌的方法进行选取。**

# 选择下一个城市
        def __choose_next_city(self):
            next_city = -1
            select_city_prob = [0.0 for each in range(city_num)]  # 存储选择每个城市的概率
            total_prob = 0.0
    
            # 获取去每个城市的概率
            for index in range(city_num):
                if self.open_table_city[index]:  # 如果index城市没有被探索过,就计算选择这个城市的概率;已经探索过的话不可以再重探索这个城市
                    try:
                        # 计算概率,与信息浓度成正比,与距离成反比
                        select_city_prob[index] = pow(pheromone_graph[self.current_city][index], ALPHA) * pow((1.0 / distance_graph[self.current_city][index]), BETA)
                        total_prob += select_city_prob[index]
                    except ZeroDivisionError as e:
                        print('Ant ID:{
        ID},current city:{
        current},target city{
        target}'.format(ID=self.ID,current=self.current_city,target=index))
                        sys.exit(1)
    
            # 采用轮盘赌方法选择下一个行走的城市
            if total_prob > 0.0:
                # 产生一个随机概率
                temp_prob = random.uniform(0.0, total_prob)
                for index in range(city_num):
                    if self.open_table_city[index]:
                        # 轮次相减
                        temp_prob -= select_city_prob[index]
                        if temp_prob < 0.0:
                            next_city = index
                            break
    
            # 如果next_city=-1,则没有利用轮盘赌求出要去的城市
            # 通过随机生成的方法生成一个城市
            if next_city == -1:
                next_city = random.randint(0, city_num - 1)
                while ((self.open_table_city[next_city]) == False):  # 如果next_city已经被访问过，则需要重新生成
                    next_city = random.randint(0, city_num - 1)
    
            return next_city

### 2.信息素更新 ###

**采用局部更新原则,即在所有蚂蚁完成一次转移之后执行信息素浓度的更新，其中 更新后的信息素浓度=没有挥发的信息素+新产生的信息素**

![在这里插入图片描述][2e8a06577fa849a5925928772b8bf4c2.png]

# 更新信息素
        def __update_pheromone_graph(self):
            temp_pheromone = [[0.0 for i in range(city_num)] for j in range(city_num)]
    
            for ant in self.ants:
                for i in range(1, city_num):
                    start, end = ant.path[i - 1], ant.path[i]
                    # 留下的信息素浓度与蚂蚁所走路径总距离成反比
                    temp_pheromone[start][end] += Q / ant.total_distance
                    temp_pheromone[end][start] = temp_pheromone[start][end]
                #更新尾部到头部的信息浓度
                temp_pheromone[ant.path[city_num-1]][ant.path[0]] += Q/ant.total_distance
                temp_pheromone[ant.path[0]][ant.path[city_num-1]] = temp_pheromone[ant.path[city_num-1]][ant.path[0]]
    
            # 更新信息素,新的信息素等于信息素增量加上没有挥发掉的信息素
            for i in range(city_num):
                for j in range(city_num):
                    pheromone_graph[i][j] = (1 - RHO) * pheromone_graph[i][j] + temp_pheromone[i][j]

## 三、整体实现 ##

`ALPHA`:信息启发因子,信息浓度对于路径选择所占的比重

`BETA`: 期望启发式因子,BETA越大,蚁群就越容易选择局部较短路径,  
这时算法的收敛速度加快;但是随机性却不高,容易得到局部的最优解.

`BETA`: 信息挥发因子,RHO过小,在各路径下残留的信息素过多,导致无效的路径  
被持续搜索,影响到算法的收敛速率;RHO过大无效的路径虽然可以被排除搜索,  
但是有效地路径也会被放弃搜索，影响到最后的最优值搜索.

import copy
    import random
    import threading
    import tkinter
    from functools import reduce
    import sys
    
    (ALPHA, BETA, RHO, Q) = (1.0, 2.0, 0.5, 100.0)
    # 城市数目,蚁群数目
    (city_num, ant_num) = (50, 50)
    
    # 城市对应点的坐标
    distance_x = [
        178, 272, 176, 171, 650, 499, 267, 703, 408, 437, 491, 74, 532, 416, 626,
        42, 271, 359, 163, 508, 229, 576, 147, 560, 35, 714, 757, 517, 64, 314,
        675, 690, 391, 628, 87, 240, 705, 699, 258, 428, 614, 36, 360, 482, 666,
        597, 209, 201, 492, 294]
    distance_y = [
        170, 395, 198, 151, 242, 556, 57, 401, 305, 421, 267, 105, 525, 381, 244,
        330, 395, 169, 141, 380, 153, 442, 528, 329, 232, 48, 498, 265, 343, 120,
        165, 50, 433, 63, 491, 275, 348, 222, 288, 490, 213, 524, 244, 114, 104,
        552, 70, 425, 227, 331]
    
    # 城市距离和信息素,采用二维数组的形式存储
    # 初始化城市距离为0，信息素浓度为1
    distance_graph = [[0.0 for col in range(city_num)] for raw in range(city_num)]
    pheromone_graph = [[1.0 for col in range(city_num)] for raw in range(city_num)]
    
    
    class Ant(object):
        # 初始化
        def __init__(self, ID):
            self.ID = ID
            self.__clean_data()  # 初始化出生点
    
        # 初始化数据
        def __clean_data(self):
            self.path = []  # 当前蚂蚁的行走路径
            self.total_distance = 0.0  # 当前蚂蚁行走的总长度
            self.move_count = 0  # 当前蚂蚁的行走次数
            self.current_city = -1  # 当前蚂蚁的所在城市
            self.open_table_city = [True for each in range(city_num)]  # 探索城市的状态,True表示未被探索果,False表示已经被探索过
    
            city_index = random.randint(0, city_num - 1)  # 随机初始生成点
            self.current_city = city_index
            self.path.append(city_index)
            self.open_table_city[city_index] = False
            self.move_count = 1
    
        # 选择下一个城市
        def __choose_next_city(self):
            next_city = -1
            select_city_prob = [0.0 for each in range(city_num)]  # 存储选择每个城市的概率
            total_prob = 0.0
    
            # 获取去每个城市的概率
            for index in range(city_num):
                if self.open_table_city[index]:  # 如果index城市没有被探索过,就计算选择这个城市的概率;已经探索过的话不可以再重探索这个城市
                    try:
                        # 计算概率,与信息浓度成正比,与距离成反比
                        select_city_prob[index] = pow(pheromone_graph[self.current_city][index], ALPHA) * pow((1.0 / distance_graph[self.current_city][index]), BETA)
                        total_prob += select_city_prob[index]
                    except ZeroDivisionError as e:
                        print('Ant ID:{
        ID},current city:{
        current},target city{
        target}'.format(ID=self.ID,current=self.current_city,target=index))
                        sys.exit(1)
    
            # 采用轮盘赌方法选择下一个行走的城市
            if total_prob > 0.0:
                # 产生一个随机概率
                temp_prob = random.uniform(0.0, total_prob)
                for index in range(city_num):
                    if self.open_table_city[index]:
                        # 轮次相减
                        temp_prob -= select_city_prob[index]
                        if temp_prob < 0.0:
                            next_city = index
                            break
    
            # 如果next_city=-1,则没有利用轮盘赌求出要去的城市
            # 通过随机生成的方法生成一个城市
            if next_city == -1:
                next_city = random.randint(0, city_num - 1)
                while ((self.open_table_city[next_city]) == False):  # 如果next_city已经被访问过，则需要重新生成
                    next_city = random.randint(0, city_num - 1)
    
            return next_city
    
        # 计算路径总距离
        def __cal_total_distance(self):
            temp_distance = 0.0
    
            for i in range(1, city_num):
                end = self.path[i]
                start = self.path[i - 1]
                temp_distance += distance_graph[start][end]
    
            # 回路
            start = city_num-1
            end = 0
            temp_distance += distance_graph[start][end]
            self.total_distance = temp_distance
    
        # 移动操作
        def __move(self, next_city):
            self.path.append(next_city)
            self.open_table_city[next_city] = False
            self.total_distance += distance_graph[self.current_city][next_city]
            self.current_city = next_city
            self.move_count += 1
    
        # 搜索路径
        def search_path(self):
            # 初始化数据
            self.__clean_data()
    
            # 搜索路径,遍历完所有的城市为止
            while self.move_count < city_num:
                next_city = self.__choose_next_city()
                # 移动
                self.__move(next_city)
    
            # 计算路径总长度
            self.__cal_total_distance()
    
    
    class TSP(object):
        # 初始化
        def __init__(self, root, width=800, height=600, n=city_num):
    
            # 创建画布
            self.root = root
            self.width = width
            self.height = height
    
            # 城市数目初始化为city_num
            self.city_num = city_num
    
            self.canvas = tkinter.Canvas(root,
                                         width=self.width,
                                         height=self.height,
                                         bg='#EBEBEB',
                                         xscrollincrement=1,
                                         yscrollincrement=1)
    
            self.canvas.pack(expand=tkinter.YES, fill=tkinter.BOTH)
            self.title("TSP蚁群算法(n:初始化,e:开始搜索,s:停止搜索,q:退出程序)")
            self.__r = 5
            self.__lock = threading.RLock()  # 线程锁
            self.bindEvents()
            self.new()
    
            # 计算城市之间的距离
            for i in range(city_num):
                for j in range(city_num):
                    temp_distance = pow(distance_x[i] - distance_x[j], 2) + pow(distance_y[i] - distance_y[j], 2)
                    temp_distance = pow(temp_distance, 0.5)
                    distance_graph[i][j] = float(int(temp_distance + 0.5))
    
            self.ants = [Ant(ID) for ID in range(ant_num)]  # 初始蚁群
            self.best = Ant(-1)  # 初始最优解
            self.best.total_distance = 1 << 31  # 初始最大距离
            self.iter = 1  # 初始化迭代次数
    
        # 更改标题
        def title(self, s):
            self.root.title(s)
    
        # 初始化
        def new(self, evt=None):
    
            # 停止线程
            self.__lock.acquire()
            self.__running = False
            self.__lock.release()
    
            self.clear()  # 清除信息
            self.nodes = []  # 节点坐标
            self.nodes2 = []  # 节点对象
    
            # 初始化城市节点
            for i in range(len(distance_x)):
                # 在画布上画出初始坐标
                x = distance_x[i]
                y = distance_y[i]
                self.nodes.append((x, y))
                # 生成节点椭圆,半径为self.__r
                node = self.canvas.create_oval(
                    x - self.__r,
                    y - self.__r,
                    x + self.__r,
                    y + self.__r,
                    fill="#ff0000",  # 填充白色
                    outline="#000000",  # 轮框白色
                    tags="node")
                self.nodes2.append(node)
    
                # 显示坐标
                self.canvas.create_text(x,
                                        y - 10,
                                        text='(' + str(x) + ',' + str(y) + ')',
                                        fill='black')
    
            # 初始化城市之间的信息素
            for i in range(city_num):
                for j in range(city_num):
                    pheromone_graph[i][j] = 1.0
            self.best = Ant(-1)  # 初始最优解
            self.best.total_distance = 1 << 31  # 初始最大距离
            self.iter = 1  # 初始化迭代次数
    
        # 将节点按照order顺序连线
        def line(self, order):
            # 删除原线
            self.canvas.delete("line")
    
            def line2(i1, i2):
                p1, p2 = self.nodes[i1], self.nodes[i2]
                self.canvas.create_line(p1, p2, fill="#000000", tags="line")
                return i2
    
            # order[-1]初始点
            reduce(line2, order, order[-1])
    
    
        # 清除画布
        def clear(self):
            for item in self.canvas.find_all():
                self.canvas.delete(item)
    
        # 退出程序
        def quit(self, evt=None):
            self.__lock.acquire()
            self.__running = False
            self.__lock.release()
            self.root.destroy()
            print("\n程序已经退出...")
            sys.exit()
    
        # 停止搜索
        def stop(self, evt=None):
            self.__lock.acquire()
            self.__running = False
            self.__lock.release()
    
        # 开始搜索
        def search_path(self, evt=None):
            # 开启线程
            self.__lock.acquire()
            self.__running = True
            self.__lock.release()
    
            while self.__running:
                # 遍历每一只蚂蚁
                for ant in self.ants:
                    # 搜索每一条路径
                    ant.search_path()
                    # 判断是否是最优解
                    if ant.total_distance < self.best.total_distance:
                        self.best =  copy.deepcopy(ant)
                # 更新信息素
                self.__update_pheromone_graph()
                print("迭代次数:", self.iter, "最佳路径总距离", int(self.best.total_distance))
                # 连线
                self.line(self.best.path)
                # 设置标题
                self.title("TSP蚁群算法(n:初始化,e:开始搜索,s:停止搜索,q:退出程序),迭代次数:%d,总距离%d" % (self.iter,int(self.best.total_distance)))
                # 更新画布
                self.canvas.update()
                self.iter += 1
    
            # 更新信息素
    
        def __update_pheromone_graph(self):
            temp_pheromone = [[0.0 for i in range(city_num)] for j in range(city_num)]
    
            for ant in self.ants:
                for i in range(1, city_num):
                    start, end = ant.path[i - 1], ant.path[i]
                    # 留下的信息素浓度与蚂蚁所走路径总距离成反比
                    temp_pheromone[start][end] += Q / ant.total_distance
                    temp_pheromone[end][start] = temp_pheromone[start][end]
                #更新尾部到头部的信息浓度
                temp_pheromone[ant.path[city_num-1]][ant.path[0]] += Q/ant.total_distance
                temp_pheromone[ant.path[0]][ant.path[city_num-1]] = temp_pheromone[ant.path[city_num-1]][ant.path[0]]
    
            # 更新信息素,新的信息素等于信息素增量加上没有挥发掉的信息素
            for i in range(city_num):
                for j in range(city_num):
                    pheromone_graph[i][j] = (1 - RHO) * pheromone_graph[i][j] + temp_pheromone[i][j]
    
            # 按键响应
    
        def bindEvents(self):
    
            self.root.bind("q", self.quit)  # 退出程序
            self.root.bind("e", self.search_path)  # 开始搜索
            self.root.bind("s", self.stop)  # 停止搜索
            self.root.bind("n", self.new)  # 初始化
    
            # 主循环
    
        def mainloop(self):
            self.root.mainloop()
    
    
    if __name__ == '__main__':
        TSP(tkinter.Tk()).mainloop()

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