线性代数基础【1】行列式

清疚 2024-02-05 13:19 86阅读 0赞

### 第一节 行列式的基本概念和性质 ###

#### 一、基本概念 ####

①逆序

1,2和2,1是一对逆序

②逆序数

1,2,3,5,4的逆序数为1;1,3,2,5,4逆序数为4;

③行列式

④余子数和代数余子数

行列式挖掉一个数(例如aij),将原行列式去掉i行j列的行列式M,则M为余子数,代数余子数记为Aij,如果(i+j)为偶数,Aij=M,如果(i+j)为奇数,则Aij=-M

**知识补充:使用定义法计算行列式**

以三阶行列式为例:

![c3b66885e13340afb8b6c3148983238c.jpeg][]

符号确定,列序号的逆序数的个数为奇数,则为负号,逆序数的个数为偶数,则为正号

所以 D = a11 \* a22 \* a33 + a12 \* a23 \* a31 + a13 \* a21 \* a32 - a11 \* a23 \* a32 - a12 \* a21 \* a33 - a13 \* a22 \* a31

#### 二、几个特殊的行列式 ####

①对角、上(下)三角行列式

![9b17bcb90cb5490f9cb1ed7e8237d6a0.jpeg][]

②范德蒙行列式

![737e813af52642808eaccb8ff4a05ff6.jpeg][]

#### 三、行列式的计算性质 ####

**(一)一般行列式转化为上(下)三角行列式的性质**

①行列式和置换行列式相等

置换行列式:行列交换,aij和aji交换

②对调两行(或两列),改变符号

③对某行(或某列)可以直接把公因子提出来

推论1:如果某行(或某列)全为0,那么行列式结果为0

推论2:如果某两行(或某两列)相同,那么行列式结果为0

推论3:如果某两行(或某两列)成比例,那么行列式结果为0

④行列式某行(或列)的每个元素皆为两数之和时,行列式可分解为两个行列式之和,即:

![fd7e03bdf7aa4f94b24724abff944d61.jpeg][]

⑤行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列),行列式不变,即

![c12ee077b391448f9d4352aba50eb713.jpeg][]

k为任意常数

**(二)行列式的降阶性质**

1.行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和,即

![eb18dc47d211491ba20c3db911afadd9.jpeg][]

2.行列式的某行(或列)元素与另一行(或列)对应元素的代数余子式之积的和为零即

![808ad472f3864f7e831d876c11c1ddbe.jpeg][]

### 第二节 行列式的应用-克拉默法则 ###

![53ba91a32a8640d384e40450dfce5b25.jpeg][]

[c3b66885e13340afb8b6c3148983238c.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/c3b66885e13340afb8b6c3148983238c.jpeg
[9b17bcb90cb5490f9cb1ed7e8237d6a0.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/9b17bcb90cb5490f9cb1ed7e8237d6a0.jpeg
[737e813af52642808eaccb8ff4a05ff6.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/737e813af52642808eaccb8ff4a05ff6.jpeg
[fd7e03bdf7aa4f94b24724abff944d61.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/fd7e03bdf7aa4f94b24724abff944d61.jpeg
[c12ee077b391448f9d4352aba50eb713.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/c12ee077b391448f9d4352aba50eb713.jpeg
[eb18dc47d211491ba20c3db911afadd9.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/eb18dc47d211491ba20c3db911afadd9.jpeg
[808ad472f3864f7e831d876c11c1ddbe.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/808ad472f3864f7e831d876c11c1ddbe.jpeg
[53ba91a32a8640d384e40450dfce5b25.jpeg]: https://img-blog.csdnimg.cn/direct/53ba91a32a8640d384e40450dfce5b25.jpeg